[论文解读] A finite element method for Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs

Wei Gong, Michael Hinze+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种用于抛物型PDE控制的Dirichlet边界控制问题的有限元方法，定义在凸多边形区域上，空间采用分片线性连续有限元，时间采用dG(0)格式，并通过时空$L^2$-投影对边界控制进行逼近。主要贡献在于推导出状态变量和控制变量在$L^2$-范数下的最优先验误差界，其收敛阶为$h^{1/2} + k^{1/4}$，并通过数值算例得到验证。

ABSTRACT

Finite element approximations of Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs on convex polygonal domains are studied in this paper. The existence of a unique solution to optimal control problems is guaranteed based on very weak solution of the state equation and $L^2(0,T;L^2(Γ))$ as control space. For the numerical discretization of the state equation we use standard piecewise linear and continuous finite elements for the space discretization of the state, while a dG(0) scheme is used for time discretization. The Dirichlet boundary control is realized through a space-time $L^2$-projection. We consider both piecewise linear, continuous finite element approximation and variational discretization for the controls and derive a priori $L^2$-error bounds for controls and states. We finally present numerical examples to support our theoretical findings.

研究动机与目标

• 通过非常弱解概念和$L^2(0,T;L^2(\tilde{\Gamma}))$控制空间，建立抛物型PDE控制的Dirichlet边界控制问题解的存在性与唯一性。
• 为状态方程开发一种全离散的有限元格式，空间采用标准连续分片线性元，时间采用dG(0)格式。
• 通过时空$L^2$-投影对Dirichlet边界控制进行逼近，确保稳定性与一致性。
• 分析状态和控制变量的先验误差估计，分别针对分片线性有限元和控制的变分离散化方法。
• 通过在凸多边形域和光滑域上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 状态方程通过空间采用符合的、连续的、分片线性有限元，时间采用间断伽辽金（dG(0)）格式进行求解。
• 通过将边界控制在离散有限元空间上进行时空$L^2$-投影，实现对边界条件的弱约束。
• 采用两种控制离散化策略：(1) 分片线性有限元逼近；(2) 通过伴随状态实现的变分离散化。
• 最优控制问题被表述为一种跟踪型问题，其中状态和控制采用$L^2$-范数，且引入参数$\alpha > 0$的Tikhonov正则化项。
• 利用稳定性与对偶性论证，在$L^2(0,T;L^2)$-范数下推导出状态和控制变量的先验误差估计。
• 分析在凸多边形域上进行，利用非常弱解的正则性及抛物型PDE的结构特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由抛物型PDE控制的Dirichlet边界控制问题，其有限元逼近在$L^2$-范数下的收敛速率是多少？
• RQ2 空间和时间离散化参数$h$和$k$如何影响状态和控制变量的误差？
• RQ3 能否在该抛物型设置下，为分片线性有限元和变分离散化方案分别推导出最优先验误差界？
• RQ4 与标准有限元方法相比，边界控制的时空$L^2$-投影在精度和稳定性方面表现如何？
• RQ5 所提格式在凸多边形域和光滑域上的性能如何？数值结果是否验证了理论收敛速率？

主要发现

• 所提出的有限元方法在$L^2(0,T;L^2)$-范数下，对状态$y$和控制$u$均实现了最优先验$L^2$-误差界，收敛阶为$h^{1/2} + k^{1/4}$。
• 数值实验验证了理论收敛速率：控制$u$的空间收敛阶约为1.25–1.36，状态$y$的空间收敛阶约为1.7–1.8，时间收敛阶约为0.95–1.0。
• 变分离散化方法与控制的全有限元离散化方法精度相当，两种设置下均观测到相似的收敛阶。
• 在单位圆上的例5.3中，当$h \to 0$时，控制$u$的误差在全离散化和变分离散化下均以约1.36阶收敛。
• 时间离散化误差对$u$和$y$的收敛阶约为0.95–1.0，表明尽管采用dG(0)格式，仍实现了接近最优的时间收敛。
• 伴随状态误差收敛阶约为1.8–1.9，支持了在误差分析框架中对偶问题逼近的鲁棒性。