[论文解读] A finite element method for the Monge-Ampère equation with transport boundary conditions

Ellya L. Kawecki, Omar Lakkis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于求解具有最优传输边界条件的Monge-Ampère方程的非变分有限元方法（NVFEM），采用牛顿-拉夫森线性化方法以及梯度/海森矩阵恢复技术以实现最优收敛。该方法在分片多项式逼近下，于L2和H1范数中实现了经验上的最优收敛率，通过光学和网格移动中的数值实验得到验证。

ABSTRACT

We address the numerical solution via Galerkin type methods of the Monge-Ampère equation with transport boundary conditions arising in optimal mass transport, geometric optics and computational mesh or grid movement techniques. This fully nonlinear elliptic problem admits a linearisation via a Newton-Raphson iteration, which leads to an oblique derivative boundary value problem for elliptic equations in nondivergence form. We discretise these by employing the nonvariational finite element method, which lead to empirically observed optimal convergence rates, provided recovery techinques are used to approximate the gradient and the Hessian of the unknown functions. We provide extensive numerical testing to illustrate the strengths of our approach and the potential applications in optics and mesh movement.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有最优传输边界条件的完全非线性Monge-Ampère方程的伽辽金型有限元方法。
• 解决由Monge-Ampère PDE的牛顿-拉夫森线性化产生的非散度型椭圆方程的挑战。
• 通过非变分有限元方法结合梯度与海森矩阵恢复技术，实现鲁棒且精确的数值求解。
• 通过数值实验展示其在几何光学与自适应网格移动中的适用性。
• 提供一种计算高效、易于实现的方法，可利用FEniCS等标准有限元软件包。

提出的方法

• 该方法采用牛顿-拉夫森迭代将完全非线性的Monge-Ampère方程线性化为一系列具有斜导数边界条件的非散度型椭圆问题。
• 采用非变分有限元方法（NVFEM）对线性化问题进行离散化，避免弱形式化，实现在非结构化网格上的协调逼近。
• 应用梯度与海森矩阵恢复技术以重构解的梯度与海森矩阵，这对于近似传输映射∇u至关重要。
• 采用分片多项式有限元空间（P1、P2、P3）对解及其导数进行逼近，恢复技术可提升收敛速率。
• 通过传输条件∇u(∂Ω) = ∂Υ施加边界条件，在凸性假设下等价于t(∂Ω) = ∂Υ。
• 该方法使用FEniCS有限元软件包实现，便于适应与高阶扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 伽辽金型有限元方法能否在具有最优传输边界条件的Monge-Ampère方程上实现最优收敛？
• RQ2 梯度与海森矩阵恢复在非变分有限元格式中恢复最优收敛速率的效果如何？
• RQ3 NVFEM能否成功应用于由最优传输产生的具有斜导数边界条件的非线性椭圆问题？
• RQ4 该方法在几何光学与网格移动等实际应用中的性能如何？
• RQ5 该方法是否在标准有限元软件中具有鲁棒性且易于实现？

主要发现

• 当应用梯度恢复时，该方法在P1、P2与P3有限元下于L2与H1范数中均实现了最优收敛率，H1与L2误差的观测收敛阶数约为1.8–1.9。
• 若不使用梯度恢复，P1单元的收敛性为次优或无法收敛，凸显了恢复技术的必要性。
• 对于P2与P3单元，梯度与海森矩阵近似值的观测收敛阶数接近最优，对应eoc值分别为1.85与1.93。
• 该方法成功生成了基于监测函数的网格用于图像处理，如Gaspard Monge肖像示例所示，质量传输将均匀网格扭曲以匹配目标密度。
• 该方法通过恢复的梯度实现了对传输映射∇u的精确逼近，这对光学与网格自适应应用至关重要。
• 计算框架已公开，便于复现，并可轻松扩展至更高阶等参数化单元。