[论文解读] A finite element method with strong mass conservation for Biot's linear consolidation model

Béatrice Rivière, Guido Kanschat|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用 46

一句话总结

该论文提出了一种用于Biot线性固结模型的H(div)-符合有限元方法，通过结合混合有限元格式与内部惩罚不连续伽辽金项，实现了强质量守恒。该格式在流体速度与位移上均达到最优L²收敛率，且在不同流体与固体可压缩性下表现稳健，无论离散化参数如何，均保持精确的质量平衡。

ABSTRACT

An H(div) conforming finite element method for solving the linear Biot equations is analyzed. Formulations for the standard mixed method are combined with formulation of interior penalty discontinuous Galerkin method to obtain a consistent scheme. Optimal convergence rates are obtained.

研究动机与目标

• 开发一种有限元方法，以在多孔弹性模拟中确保强质量守恒。
• 消除传统Taylor-Hood混合方法中流体速度与位移之间收敛率差距的问题。
• 在一般材料参数下，实现速度与位移场的最优L²收敛率，包括不可压缩流体（cₛ = 0）的情况。
• 在Biot-Willis常数α与储水系数cₛ方面保持鲁棒性，特别是在不可压缩流体极限下。
• 在无需投影的情况下实现流体与固体速度的一致耦合，确保在各种参数范围内的稳定性与准确性。

提出的方法

• 该方法对流体速度与固体位移均采用H(div)-符合的Raviart-Thomas有限元，确保局部质量守恒。
• 将流体压力与速度的标准混合格式与内部惩罚不连续伽辽金项相结合，以强制位移场的H¹连续性。
• 采用单一向量有限元空间表示速度与位移，实现L²中相等阶次的一致逼近。
• 基于位移场散度的超逼近假设，推导出最优误差估计。
• 时间半离散采用θ-格式，其中θ = 0.501，以确保强A-稳定性并减少时间积分误差。
• 通过离散质量平衡残差Δm(t)验证质量守恒，结果表明其在粗网格下保持在机器精度范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种有限元方法，确保在Biot固结模型中实现强质量守恒，而无需依赖基于投影的耦合？
• RQ2 将H(div)-符合混合方法与内部惩罚DG项结合，是否能对速度与位移场均实现最优收敛率？
• RQ3 该方法在Biot-Willis常数α与储水系数cₛ方面是否具有鲁棒性，特别是在不可压缩流体极限（cₛ = 0）下？
• RQ4 能否在保持稳定性和一致性的同时，实现速度与位移在L²中的相等阶次逼近，并达到最优收敛率？
• RQ5 该方法是否能在离散层面精确保持质量平衡，且与网格尺寸和时间步长无关？

主要发现

• 当使用RT₁/Q₁单元时，数值实验验证了流体速度与位移的L²收敛率均达到h²阶最优收敛率。
• 对于RT₂/Q₂单元，L²收敛率提升至h³阶，表明在高阶逼近下仍保持最优收敛。
• 位移场的散度误差收敛阶为h¹，与理论假设和数值验证一致。
• 离散质量平衡残差Δm(t)在所有测试参数组合下（包括cₛ = 0与α ≠ 1）均保持在机器精度范围内（≈10⁻¹⁷）。
• 即使在cₛ = 0（不可压缩流体）时，该方法仍保持鲁棒性能，而此前方法会退化或无法达到最优收敛。
• 数值测试表明，该格式在各种材料参数下均保持稳定与准确，误差随网格加密按预期速率减小。