[论文解读] A finite element model for a coupled thermo-mechanical system: nonlinear strain-limiting thermoelastic body

Hyun Chul Yoon, K. Vasudeva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2021

Elasticity and Material Modeling参考文献 64被引用 22

一句话总结

本文提出了一种用于非线性应变限制热弹性体的有限元模型，采用一种新颖的本构关系，无论应力大小如何均能限制应变，从而实现物理上一致的裂纹尖端行为。该模型采用基于牛顿法的线性化方法与伽辽金有限元法求解耦合的热-机械偏微分方程，结果显示在裂纹尖端附近应变增长显著减缓，相较于经典线性模型，有效解决了非物理的应变奇异性问题。

ABSTRACT

We investigate a specific finite element model to study the thermoelastic behavior of an elastic body within the context of nonlinear strain-limiting constitutive relation. As a special subclass of implicit relations, the thermoelastic response of our interest is such that stresses can be arbitrarily large, but strains remain small, especially in the neighborhood of crack-tips. Thus, the proposed model can be inherently consistent with the assumption of the small strain theory. In the present communication, we consider a two-dimensional coupled system-linear and quasilinear partial differential equations for temperature and displacements, respectively. Two distinct temperature distributions of the Dirichlet type are considered for boundary condition, and a standard finite element method of continuous Galerkin is employed to obtain the numerical solutions for the field variables. For a domain with an edge-crack, we find that the near-tip strain growth of our model is much slower than the growth of stress, which is the salient feature compared to the inconsistent results of the classical linearized description of the elastic body. Current study can provide a theoretical and computational framework to develop physically meaningful models and examine other coupled multi-physics such as an evolution of complex network of cracks induced by thermal shocks.

研究动机与目标

• 开发一种物理上一致的热-机械模型，避免在裂纹尖端出现非物理的应变奇异性。
• 将Rajagopal的非线性应变限制本构理论扩展至耦合热弹性问题。
• 在小应变假设下，利用隐式、非线性的应力-应变关系，建立适定的边值问题。
• 实现并验证一种稳定且可靠的有限元方法，用于求解所得的非线性系统。
• 展示该模型在应变有界且应力集中有限的条件下，捕捉真实裂纹尖端行为的能力。

提出的方法

• 提出一种非线性、隐式的热弹性本构关系，无论应力大小如何，应变均被限制。
• 在小应变假设下，推导出温度的线性耦合PDE系统与位移的拟线性PDE系统。
• 采用连续伽辽金有限元法，结合弱形式进行空间离散化。
• 采用牛顿法求解非线性系统，每个牛顿迭代步长求解一个椭圆型边值问题。
• 实施两种边界条件：在域边界上施加恒定温度和抛物线温度分布。
• 在裂纹尖端附近设置参考线，用于比较线性与非线性模型在应变和应力演化上的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性应变限制本构模型能否有效解决热弹性体中经典的裂纹尖端应变奇异性问题？
• RQ2 在热-机械载荷下，裂纹尖端附近的应变增长在非线性模型与线性模型之间有何差异？
• RQ3 所提出的有限元格式在求解非线性、耦合热-机械系统时，其稳定性和准确性在多大程度上得以保持？
• RQ4 非线性模型在限制应变增长的同时，是否仍能保持应力集中的物理解释一致性？
• RQ5 该模型能否作为模拟热冲击下复杂裂纹网络演化的基础？

主要发现

• 与线性模型相比，非线性模型在裂纹尖端附近的应变增长显著减缓，且即使在高应力下应变值也保持有界。
• 裂纹尖端的应力集中依然强烈，且与经典线性模型相似，表明裂纹尖端是能量集中的奇点。
• 对于抛物线温度边界条件（CASE 2），线性与非线性模型在应变行为上的差异比恒定温度条件（CASE 1）更为显著。
• 非线性模型中的轴向应变场在裂纹尖端附近表现出更明显的颜色梯度，表明其应变分布更集中但有界，而线性模型则无此特征。
• 数值结果证实，裂纹尖端附近应变的增长速率与应力不同，支持了该模型的物理一致性。
• 结合牛顿迭代的有限元方法成功稳定了非线性耦合系统的求解，实现了复杂热-机械响应的可靠模拟。