[论文解读] A Finite Horizon Optimal Multiple Switching Problem

Boualem Djehiche, Saïd Hamadène+1 more|ArXiv.org|Jul 18, 2007

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过后向随机微分方程（BSDEs）和Snell上确界，解决了针对广义适应随机过程的有限-horizon最优多模式切换问题。当状态过程为马氏扩散过程时，证明了值函数构成一组具有相互关联障碍的变分不等方程系统的粘性解。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal multiple switching in finite horizon, when the state of the system, including the switching costs, is a general adapted stochastic process. The problem is formulated as an extended impulse control problem and completely solved using probabilistic tools such as the Snell envelop of processes and reflected backward stochastic differential equations. Finally, when the state of the system is a Markov diffusion process, we show that the vector of value functions of the optimal problem is a viscosity solution to a system of variational inequalities with inter-connected obstacles.

研究动机与目标

• 解决具有广义适应状态过程和切换成本的有限时间 horizon 内最优多模式切换问题。
• 将现有两模式切换模型扩展至一般随机动力学下的多模式情形。
• 基于反射BSDEs和Snell上确界，提供一种概率解框架。
• 建立最优切换问题与具有相互关联障碍的变分不等方程系统之间的联系。
• 通过迭代BSDE逼近方法，证明值函数的存在性与收敛性。

提出的方法

• 将最优切换问题表述为具有广义适应状态过程的扩展脉冲控制问题。
• 利用随机过程的Snell上确界，将值函数表征为支配收益过程的最小上鞅。
• 应用反射后向随机微分方程（RBSDEs）来建模具有时间间歇切换成本的值函数。
• 通过逐步增加时间范围和切换成本惩罚项，构建基于BSDE的迭代逼近方案。
• 利用BSDE解的比较定理，证明逼近序列的单调性与收敛性。
• 证明迭代方案的极限是RBSDE系统唯一解，对应于最优值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当状态过程为广义适应随机过程时，如何表征有限时间内的最优多模式切换？
• RQ2 在此设定下，值函数的概率表示为何？
• RQ3 切换成本与制度变化如何影响该问题的动态规划结构？
• RQ4 在何种条件下，值函数满足具有相互关联障碍的变分不等方程系统？
• RQ5 能否基于BSDE构造一个收敛的迭代方案求解该问题？

主要发现

• 最优切换问题的值函数被表征为一列非减的后向SDE解的极限。
• 证明了迭代BSDE逼近在L²范数下收敛于真实值函数，且过程几乎必然收敛。
• 当状态过程为马氏扩散过程时，值函数向量是具有相互关联障碍的变分不等方程系统的粘性解。
• 解唯一且连续，满足基于Snell上确界表示的验证定理。
• 迭代方案单调收敛，极限过程满足最优切换问题的动态规划原理。
• 收敛速率未显式确定，但在两模式情形且成本恒定时，已知收敛速率为O(1/n)。