[论文解读] A Finite-Model-Theoretic View on Propositional Proof Complexity

Erich Grädel, Martin Grohe+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 5

一句话总结

本文通过有限模型论中的固定点逻辑，对命题证明系统——Horn归结、有界宽度归结以及有界次数的多项式计算——建立了精确的逻辑表征。研究证明，Horn归结对应最小固定点逻辑，有界宽度归结对应存在性最小固定点逻辑，而有理数上的多项式计算则对应带计数的固定点逻辑，从而为证明复杂性下界的证明提供了新的有限模型论工具。

ABSTRACT

We establish new, and surprisingly tight, connections between propositional proof complexity and finite model theory. Specifically, we show that the power of several propositional proof systems, such as Horn resolution, bounded-width resolution, and the polynomial calculus of bounded degree, can be characterised in a precise sense by variants of fixed-point logics that are of fundamental importance in descriptive complexity theory. Our main results are that Horn resolution has the same expressive power as least fixed-point logic, that bounded-width resolution captures existential least fixed-point logic, and that the polynomial calculus with bounded degree over the rationals solves precisely the problems definable in fixed-point logic with counting. By exploring these connections further, we establish finite-model-theoretic tools for proving lower bounds for the polynomial calculus over the rationals and over finite fields.

研究动机与目标

• 通过识别关键证明系统的逻辑表征，弥合命题证明复杂性与有限模型论之间的鸿沟。
• 通过固定点逻辑的视角，理解Horn归结、有界宽度归结以及多项式计算等证明系统的表达能力。
• 为证明复杂性中的下界证明，特别是有理数和有限域上的多项式计算，开发有限模型论工具。

提出的方法

• 使用逻辑解释，将证明系统映射到固定点逻辑的片段，如最小固定点逻辑及其扩展。
• 建立证明论中的证明长度与带计数和不带计数的固定点逻辑中的可定义性之间的等价性。
• 应用模型论技术，包括Ehrenfeucht-Fraïssé游戏和弹珠游戏，分析证明复杂性的下界。
• 利用有限模型论框架，分析有理数上带次数限制的多项式计算的表达能力。
• 证明这些系统中命题公式的可满足性恰好对应于特定固定点逻辑变体中的可定义性。
• 使用逻辑不变量和解释，将模型论结果转移到证明复杂性领域。

实验结果

研究问题

• RQ1 Horn归结等命题证明系统在固定点逻辑方面如何实现逻辑表征？
• RQ2 有界宽度归结确切捕获了哪个逻辑片段，它与固定点逻辑中的存在量词有何关系？
• RQ3 有理数上带次数限制的多项式计算在多大程度上对应于带计数的固定点逻辑？
• RQ4 能否使用有限模型论方法推导出有限域和有理数上多项式计算的下界？
• RQ5 哪些逻辑不变量支撑了有次数限制的多项式计算的证明复杂性？

主要发现

• Horn归结的表达能力与最小固定点逻辑相同，意味着它能定义完全相同的公式类。
• 有界宽度归结捕获了存在性最小固定点逻辑，为该系统证明论上的局限性提供了逻辑表征。
• 有理数上带次数限制的多项式计算恰好解决在带计数的固定点逻辑中可定义的问题。
• 这些逻辑表征为证明复杂性中的下界证明提供了新的有限模型论工具。
• 研究结果建立了句法证明系统与有限模型论中语义可定义性之间的紧密联系。
• 这些联系使得模型论技术（如弹珠游戏）能够被转移到证明复杂性分析中。