[论文解读] A Finite Theory of Qubit Physics

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

advanced mathematical theories参考文献 11被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于p进几何与有理振幅/角度的量子比特物理有限理论（FTQP），在不依赖连续对称性的前提下复现了量子预测。通过在态空间中以p进度量取代欧氏度量，该理论从数论上的不相容性出发推导出量子互补性、动力学与测量，表明时空与量子规律源自宇宙态空间中一个原始的分形-like不变集。

ABSTRACT

Hardy's axiomatic approach to the quantum theory of discrete Hilbert Spaces reveals that just one principle distinguishes it from classical probability theory: there should be continuous (and hence infinitesimal) reversible transformations between any pair of pure states - the single word `continuous' giving rise to quantum theory. This raises the question: Can one formulate a finite theory of qubit physics (FTQP) - necessary different from quantum theory - which can replicate the tested predictions of quantum theory of qubits to experimental accuracy? Here we show that an FTQP based on complex Hilbert vectors with rational squared amplitudes and rational phase angles is possible, provided the metric of state space, $g_p$, is based on $p$-adic rather than Euclidean distance. A key number theorem describing an incompatibility between rational angles and rational cosines accounts for quantum complementarity in this FTQP. Dynamical evolution is described by a deterministic mapping on the set of $p$-adic integers and the measurement problem is trivially solved in terms of a nonlinear clustering of states in state space. Based on $g_p$, causal deterministic analyses of quantum interferometry, GHZ, the sequential Stern-Gerlach experiment, Leggett-Garg and the Bell Theorem are described. The close relationship between fractals and $p$-adic integers suggest the existence of a primal fractal-like 'invariant set' geometry $I_U$ in cosmological state space, from which space-time and the laws of physics in space-time are emergent.

研究动机与目标

• 开发一种有限的、离散的量子比特物理理论，其预测精度达到实验水平。
• 用在p进整数上定义的确定性、可逆映射替代量子理论中的连续幺正演化。
• 通过p进态空间中的非线性聚类解决测量问题。
• 通过有理角度与有理余弦之间的数论不相容性解释量子互补性。
• 提出时空与物理定律源自宇宙态空间中一个原始的分形-like不变集。

提出的方法

• 使用具有有理平方振幅与有理相位角的复希尔伯特向量构建态空间。
• 用p进度量 $g_p$ 替代欧氏度量，以定义态空间的几何结构。
• 将动力学演化建模为在p进整数环上的确定性映射。
• 通过p进态空间中状态的非线性聚类实现测量，从而 trivially（平凡地）解决测量问题。
• 利用一个关键数论定理，形式化有理角度与有理余弦之间的不相容性，推导出量子互补性。
• 将该框架应用于分析量子干涉、GHZ、序列斯特恩-格拉赫、Leggett-Garg以及贝尔型定理，采用因果的、确定性的p进动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种有限的、离散的量子比特物理理论，能够以实验精度复现标准量子理论的预测？
• RQ2 在有限态空间中，量子互补性如何从数论约束中涌现？
• RQ3 p进几何在将连续幺正演化替换为确定性动力学的过程中起到何种作用？
• RQ4 在有限的、确定性的框架下，如何通过p进态空间解决测量问题？
• RQ5 时空结构与量子规律是否能从宇宙态空间中一个原始的分形-like不变集几何中涌现？

主要发现

• 使用具有有理振幅与有理相位角的复希尔伯特向量，有限的量子比特物理理论（FTQP）是可行的。
• 使用p进度量 $g_p$ 而非欧氏度量，可实现离散的、确定性的动力学，从而复现量子行为。
• 量子互补性源于有理角度与有理余弦之间的数论不相容性，该关系由一个关键数论定理形式化。
• 通过p进态空间中状态的非线性聚类，测量问题被平凡地解决，无需坍缩 postulate（坍缩假定）。
• 在FTQP框架内，成功推导出对量子干涉、GHZ、序列斯特恩-格拉赫、Leggett-Garg以及贝尔型定理的因果、确定性分析。
• 该框架表明，时空与物理定律源自宇宙态空间中一个原始的分形-like '不变集'几何 $I_U$。