[论文解读] A finiteness theorem for the Brauer group of abelian varieties and K3 surfaces

Alexei N. Skorobogatov, Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|May 13, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 8

一句话总结

该论文建立了关于有理数域上有限生成域上K3曲面与阿贝尔簇的布饶尔群的有限性定理。利用伽罗瓦上同调、étale上同调以及除子的塔特定理，证明了在适当特征与挠分量条件下，K3曲面的布饶尔群模去基域布饶尔群的商群是有限的；对于阿贝尔簇，其基扩张的布饶尔群的伽罗瓦不变部分是有限的。

ABSTRACT

Let $k$ be a field that is finitely generated over the field of rational numbers and $Br(k)$ the Brauer group of $k$. Let $X$ be an absolutely irreducible smooth projective variety over $k$, let $Br(X)$ be the cohomological Brauer-Grothendieck group of $X$ and $Br_0(X)$ the image of $Br(k)$ in $Br(X)$. We write $Br_1(X)$ for the subgroup of elements in $Br(X)$ that become trivial after replacing $k$ by its algebraic closure. We prove that $Br(X)/Br_0(X)$ is finite if $X$ is a $K3$ surface. When $X$ is (a principal homogeneous space of) an abelian variety over $k$ then we prove that $Br(X)/Br_1(X)$ is finite.

研究动机与目标

• 建立关于有理数域上有限生成域上K3曲面的基扩张的伽罗瓦不变布饶尔群的有限性。
• 在适当的特征条件下，证明阿贝尔簇的布饶尔群模去基域布饶尔群的商群是有限的。
• 将已知的布饶尔群有限性结果推广至高维代数簇，特别是K3曲面与阿贝尔簇，在算术几何的背景下。

提出的方法

• 使用Hochschild–Serre谱序列，将簇的布饶尔群与几何纤维的伽罗瓦上同调联系起来。
• 应用阿贝尔簇上除子的塔特定理，以控制Néron–Severi群及其伽罗瓦作用。
• 分析K3曲面与阿贝尔簇的$ε$-adic上同调，特别是$H^2_{εt}(-, μ_\ell)$的伽罗瓦模结构。
• 利用法尔廷斯建立的$ε$-adic伽罗瓦表示在上同调上的半单性，以控制布饶尔群。
• 利用阿贝尔簇的自同态的霍奇与$ε$-adic实现代数之间的相容性，分析上同调群中的挠结构。
• 利用K3曲面在代数闭包上的Picard群是秩至多为20的自由阿贝尔群且伽罗瓦作用有限这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有理数域上有限生成域上的K3曲面，其布饶尔群的伽罗瓦不变部分是否有限？
• RQ2 对于有理数域上有限生成域上的阿贝尔簇，其布饶尔群在代数闭包下基扩张的布饶尔群中的像是否有限？
• RQ3 K3曲面布饶尔群的$ε$-主分量是否对所有素数$\ell$都有限？
• RQ4 能否利用阿贝尔簇上除子的塔特定理，推导出K3曲面布饶尔群的有限性？
• RQ5 K3曲面布饶尔群模去基域布饶尔群像的结构是什么？

主要发现

• 对于有理数域上有限生成域上的K3曲面，其布饶尔群的伽罗瓦不变部分是有限的。
• 在特征为零且有理数域上有限生成的域上，阿贝尔簇的布饶尔群模去基域布饶尔群的商群是有限的。
• 在正特征$p \neq 2$下，布饶尔群商群的非$p$-主分量是有限的。
• 在除子塔特定理成立的假设下，K3曲面布饶尔群的$ε$-主分量对所有素数$\ell$都是有限的。
• K3曲面布饶尔群模去基域布饶尔群像的部分是有限的，作为几何布饶尔群伽罗瓦不变部分有限性的推论。
• 证明依赖于$ε$-adic伽罗瓦表示的半单性以及阿贝尔簇上除子塔特定理的有效性。