[论文解读] A fixed point formula for loop group actions

Anton Alekseev, Eckhard Meinrenken+1 more|ArXiv.org|May 4, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文为具有适当 момента́льных отображений的预量子化哈密顿环群流形的辛商上狄拉克算子的指标建立了不动点公式。通过基于环群ΩG将无穷维环群空间约化为有限维紧致G-流形M，作者以M上的不动点数据表达了指标，通过一种重整化程序将阿蒂yah-Segal-Singer不动点定理推广至环群情形，从而避免了直接使用无穷维指标理论。

ABSTRACT

We express the index of the Dirac operator on symplectic quotients of a Hamiltonian loop group manifold with proper moment map in terms of fixed point data.

研究动机与目标

• 将阿蒂yah-Segal-Singer不动点公式推广至具有适当 момента́льных отображений的预量子化哈密顿环群流形的辛商。
• 通过基于环群ΩG的商约化，将问题转化为有限维G-流形M，从而规避在无穷维空间中直接定义等变指标的困难。
• 尽管M本身不自然地继承Spin_c-结构，仍以M上不动点子流形的贡献表达辛商的指标。
• 通过主定理的配套应用，为曲面上平坦联络模空间的韦尔林德数提供计算工具。

提出的方法

• 作者将环群流形M̂关于基于环群ΩG的商约化，构造出一个有限维紧致G-流形M。
• 即使M不具有自然的Spin_c-结构，仍对M应用等变指标定理，利用G作用在M上的不动点贡献。
• 该方法涉及一种重整化程序，以消除来自无穷维设定的发散项，其灵感源自对环群流形形式应用指标定理。
• 证明依赖于对 момента́льного отображения图像的多面体剖分上的等变指标的粘合公式，使用了对轨道丛的Berline-Vergne局部化公式。
• 通过在不动点子流形上对法丛的Todd类、示性类和欧拉类进行积分，计算贡献项。
• 通过分析特征形式在截面空间和子流形约化下的行为，推导出公式，确保对代表元选择的无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将等变指标的不动点公式从紧致李群推广至无穷维流形上的环群作用？
• RQ2 如何在不直接定义无穷维空间中等变指标的前提下，计算环群流形辛商的指标？
• RQ3 有限维商流形M = M̂ / ΩG在编码环群指标的不动点数据中起什么作用？
• RQ4 形式指标公式中发散项的重整化如何在有限维商流形上产生一个良定义的表达式？
• RQ5 该方法能否用于计算曲面上平坦联络模空间的韦尔林德数？

主要发现

• 主要结果（定理4.3）将哈密顿环群流形的辛商指标表达为有限维商流形M上不动点贡献的和。
• 即使M不具有自然的Spin_c-结构，不动点贡献仍通过子流形上的特征类（Td、Ch、欧拉类）计算。
• 由于粘合公式（命题B.1）的存在，公式对 момента́льного отображения图像代表元的选择无关，确保了多面体剖分中虚假贡献的抵消。
• 该方法通过将问题约化至标准局部化技术适用的有限维设定，成功避免了直接的无穷维分析。
• 该方法为韦尔林德数的计算提供了计算框架，如配套论文中通过主定理的应用所示。
• 该结果将“量子化与约化可交换”原理推广至环群设定，将无穷维几何与有限维不动点数据联系起来。