[论文解读] A fixed point theorem for closed-graphed decomposable-valued correspondences

Idione Meneghel, Rabee Tourky|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在无原子测度空间上建立了闭图、可分解值对应关系的不动点定理，通过放宽紧致性要求，推广了先前的结果。关键贡献是提出了一类具有序列闭图的可分解映射的不动点存在性新结果，相较于Cellina等人定理，不再需要范围中的范数紧致性，而是依赖于$μ$-一致紧致性和逐点收敛拓扑下的可度量化性。

ABSTRACT

We prove a fixed point theorem for closed-graphed, decomposable-valued correspondences whose domain and range is a decomposable set of functions from an atomless measure space to a topological space. One consequence is an improvement of the fixed point theorem in Cellina, Colombo, and Fonda (1986).

研究动机与目标

• 在无原子测度空间背景下，建立闭图、可分解值对应关系的不动点定理。
• 通过在范围内以$μ$-一致紧致性替代范数紧致性，推广Cellina等人的不动点结果。
• 证明在逐点收敛拓扑下，紧致且可度量化的子集具有$μ$-不动点性质。
• 为具有纯主观不确定性的战略模型和贝叶斯博弈中的不动点分析提供基础。

提出的方法

• 证明构造了一个从$L([0,1],C)$到$L(S,T)$的序列逐点连续映射$\theta$，其中$C$为康托集，以转移拓扑性质。
• 利用无原子测度空间中可测集合的最大链，定义了一个可测函数$r(s)$，为$S$中每一点分配一个$[0,1]$中的实数，从而实现函数的提升。
• 该构造确保在可数集上不同的函数被映射为在$μ$-零测集上不同的函数，从而保持本质等价性。
• 通过证明$\theta$下可分解集的原像仍为可分解集，并且所得空间为紧致绝对收缩核，从而利用Eilenberg-Montgomery不动点定理。
• 证明在逐点收敛拓扑下，$L(S,T)$中单调函数的集合构成一个Peano连通集，确保局部连通性和绝对收缩核性质。
• 将不动点定理应用于逆像空间上的对应关系$\tilde{Q}$，通过Eilenberg-Montgomery定理得出不动点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不需范围中范数紧致性的条件下，为可分解值对应关系建立不动点定理？
• RQ2 在何种拓扑与测度论条件下，闭图、可分解值对应关系会存在不动点？
• RQ3 在逐点收敛拓扑下，紧致且可度量化的子集能否嵌入一个具有$μ$-不动点性质的序列紧致集？
• RQ4 在$L_1(\mu, L)$中，可分解集的结构如何与序列闭性及不动点存在性相互作用？
• RQ5 逐点收敛拓扑在实现函数空间上对应关系的不动点结果中起到何种作用？

主要发现

• 在无原子测度空间上，为闭图、可分解值对应关系建立了不动点定理，通过放宽对范数紧致性的需求，推广了先前结果。
• 关键结果为：若对应关系$B$具有闭图、可分解值，并且对所有$f \in X$满足$X \cap B(f) \neq \emptyset$，其中$X$为$\mu$-一致紧致，则$B$具有不动点。
• 在逐点收敛拓扑下，$L(S,T)$的紧致且可度量化子集可嵌入一个具有$\mu$-不动点性质的序列紧致集$Y$中。
• 映射$\theta$的构造确保了序列逐点收敛性得以保持，且在可数集上不同的函数被映射为在$μ$-零测集上不同的函数。
• 证明了逆像空间$((\mathcal{G} \cap \mathcal{M})^{\leftarrow}, \delta)$为Peano连通集，因此为紧致绝对收缩核，从而可应用Eilenberg-Montgomery不动点定理。
• 证明了$\mathcal{Z}^{\leftarrow}$上的对应关系$\tilde{Q}$具有闭图，因此存在不动点，从而完成定理2.2的证明。