[论文解读] A Fixed Points Approach to stability of the Pexider Equation

Elhoucien Elqorachi, John Michael Rassias+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Functional Equations Stability Results参考文献 40被引用 3

一句话总结

本论文通过完备β-范数空间中的不动点方法，建立了广义Pexider函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。通过应用具有压缩映射的不动点定理，证明了在控制函数条件下广义Pexider方程解的存在性与唯一性，将稳定性结果推广至二次型与Jensen型方程，并给出了显式的误差界。

ABSTRACT

Using the fixed point theorem we establish the Hyers-Ulam-Rassias stability of the generalized Pexider functional equation $$\frac{1}{\mid K\mid}\sum_{k\in K}f(x+k\cdot y)=g(x)+h(y),\;\;x,y\in E$$ from a normed space $E$ into a complete $β$-normed space $F$, where $K$ is a finite abelian subgroup of the automorphism group of the group $(E,+)$.

研究动机与目标

• 研究向量空间中广义Pexider函数方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。
• 通过不动点方法，将现有关于二次型与Jensen型方程的稳定性结果进行推广。
• 在完备β-范数空间中，为近似解建立显式的误差估计。
• 在一般控制函数条件下，对Pexider方程的先前结果进行推广。
• 提供一个统一的稳定性框架，使用Lipschitz常数小于1的不动点定理。

提出的方法

• 作者在具有严格压缩映射（Lipschitz常数L < 1）的完备广义度量空间中应用不动点定理。
• 在函数空间上定义广义度量，并利用不动点替代法证明序列收敛至唯一不动点。
• 该方法涉及构造一个函数序列，并证明其收敛于广义Pexider方程的解。
• 控制函数φ(x,y)界定了近似解与精确方程之间的偏差，满足涉及K和β的齐次性条件。
• 解被分解为二次部分q(x)、Jensen型部分j(x)以及加法分量，通过迭代估计推导出误差界。
• 该方法推广了Cădariu与Radu的早期结果，将不动点方法应用于具有自同构群作用的Pexider方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赋范空间上，广义Pexider方程的近似解在何种条件下仍接近精确解？
• RQ2 不动点方法能否有效应用于证明广义Pexider方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性？
• RQ3 在β-范数空间中，近似解与真实解之间的显式误差界是什么？
• RQ4 自同构群K的结构如何影响解的稳定性与分解？
• RQ5 该方法能否推广至作为特例恢复已知的二次型与Jensen方程的稳定性结果？

主要发现

• 对于满足不等式 ∥(1/|K|)∑_{k∈K} f(x+k·y) - g(x) - h(y)∥_β ≤ φ(x,y) 的映射f，存在广义二次方程 (1.2) 的唯一解q(x)，以及广义Jensen方程 (1.3) 的唯一解j(x)。
• f(x) 与 q(x) + j(x) + g(0) + h(0) 之间的误差被界为 (2/2^β)(1/(1−L))χ(x,x) + (1/2^β)(1/(1−L))ψ(x,x)，其中χ和ψ是控制函数φ的函数。
• 当φ(x,y) ≤ θ(∥x∥^p + ∥y∥^p) 且 0 < p < 2β−1，1/2 < β < 1 时，误差界显式地以∥x∥^p表示，常数涉及2^β、4^β以及3的幂次。
• 当K = {I, σ} 时，解分解为二次部分q(x)与满足j(σ(x)) = −j(x)的反对称Jensen部分j(x)，其误差界以∥x∥^p显式表示。
• 当适当选择K时，该方法可作为特例恢复已知的加法、二次与Jensen方程的稳定性结果。
• 在条件 ∑_{k∈K} φ(x+k·x, y+k·y) ≤ (|2K|)^β L φ(x,y) 下，不动点方法可得到最优误差估计，确保通过压缩性实现收敛。