[论文解读] A Fourier Pseudospectral Method for the "Good" Boussinesq Equation with Second Order Temporal Accuracy

Kelong Cheng, Wenqiang Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对 'good' Boussinesq 方程的二阶精度、全离散傅里叶伪谱方法，通过引入中间变量 $ψ$ 来逼近 $u_t$，实现了无条件稳定性和改进的收敛性。该方法在 $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ 范数下实现了对 $u$ 的误差估计，在 $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ 范数下实现了对 $\psi$ 的误差估计，克服了先前工作中存在的严重时间步长限制 $\Delta t \leq Ch^2$。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the nonlinear stability and convergence of a fully discrete Fourier pseudospectral method coupled with a specially designed second order time-stepping for the numerical solution of the "good" Boussinesq equation. Our analysis improves the existing results presented in earlier literature in two ways. First, an $l_\infty(0, T^*; H2)$ convergence for the solution and $l_\infty(0, T^*; l_2)$ convergence for the time-derivative of the solution are obtained in this paper, instead of the $l_\infty(0, T^*; l_2)$ convergence for the solution and the $l_\infty(0, T^*; H^{-2})$ convergence for the time-derivative, given in [17]. In addition, the stability and convergence of this method is shown to be unconditional for the time step in terms of the spatial grid size, compared with a severe restriction time step restriction $Δt \leq Ch^2$ reported in [17].

研究动机与目标

• 开发一种针对 'good' Boussinesq 方程的全离散傅里叶伪谱格式，实现二阶时间精度。
• 克服先前工作 [17] 中存在的严重时间步长限制 $\Delta t \leq Ch^2$，该限制在细网格上严重降低了效率。
• 通过证明 $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ 范数下对解 $u$ 的误差估计以及 $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ 范数下对时间导数 $\psi = u_t$ 的误差估计，实现改进的收敛速率。
• 通过引入辅助变量 $\psi$ 并采用一种新颖的混叠误差控制技术，实现无条件稳定性。
• 通过基准孤波解的数值实验，验证方法在时间方向的二阶精度和空间方向的谱精度。

提出的方法

• 引入辅助变量 $\psi$ 来逼近时间导数 $u_t$，将二阶双曲方程转化为时间一阶系统。
• 采用类似 Strang 分裂的二阶时间离散格式，对 $\psi$ 使用中心差分，对 $u$ 使用中点近似，确保二阶时间精度。
• 采用具有周期性边界条件的傅里叶伪谱空间离散化，实现空间上的谱精度。
• 采用一种新颖的混叠误差控制估计（引理 2.1），以管理非线性项，并实现 $H^2$ 范数下的高阶收敛。
• 利用 $L^2$ 和 $H^2$ 范数推导能量型估计，证明非线性稳定性与收敛性，且无需时间步长限制。
• 利用离散 $H^2$ 范数与傅里叶谱范数之间的等价性，控制误差分析中的高阶导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种全离散傅里叶伪谱方法，使 'good' Boussinesq 方程在无严重时间步长限制下实现二阶时间精度？
• RQ2 能否通过改进分析，实现对 $u$ 的 $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ 误差估计和对 $\psi = u_t$ 的 $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ 误差估计？
• RQ3 能否通过新格式与新分析，消除先前工作中存在的 $\Delta t \leq Ch^2$ 时间步长约束？
• RQ4 引入辅助变量 $\psi$ 对伪谱格式的稳定性和收敛性有何影响？
• RQ5 所提出格式在时间和空间方向的实际精度阶数是多少，通过数值实验如何验证？

主要发现

• 所提方法在 $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ 范数下实现了对解 $u$ 的收敛，在 $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ 范数下实现了对时间导数 $\psi = u_t$ 的收敛，这优于 [17] 中报告的 $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ 和 $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{-2})$ 收敛结果。
• 该格式在时间步长 $\Delta t$ 相对于空间网格尺寸 $h$ 的意义上是无条件稳定的，消除了先前工作中存在的 $\Delta t \leq Ch^2$ 限制。
• 数值实验验证了对 $u$ 和 $\psi$ 均存在二阶时间收敛性，误差与 $\mathcal{O}(\Delta t^2)$ 成比例，误差曲线与 $C N_K^{-2}$ 拟合良好。
• 空间收敛具有谱精度，随着 $N$（网格点数）增大，误差以快于任意多项式的方式衰减。
• 混叠误差控制技术（引理 2.1）在实现高阶 $H^2$ 收敛估计中起关键作用，避免了对负范数估计的需求。
• 使用中间变量 $\psi$ 不仅改善了稳定性条件，还简化了相容性和误差分析，使得非线性稳定性证明更加稳健。