[论文解读] A $\frac{3}{2}$-Approximation Algorithm for Tree Augmentation via Chvátal-Gomory Cuts

Fiorini, Samuel, Groß, Martin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于线性规划（LP）的新型 3/2 + ε-近似算法，用于加权树增强问题（WTAP），其中边的代价被限制在常数 M 以内。通过将标准割 LP 与 0-1/2 Chvátal-Gomory 割（形成所谓的“奇割 LP”）相结合，并整合先前工作中提出的束约束，作者实现了更优的舍入保证，从而得到首个基于 LP 的算法，其近似因子与 TAP 的最佳已知结果一致，并在有界代价下优于此前 ≈1.96418 + ε 的最佳界限。

ABSTRACT

In the Tree Augmentation problem we are given a tree T=(V,F) and a set E of edges with positive integer costs {c_e:e in E}. The goal is to augment T by a minimum cost edge set J subseteq E such that T cup J is 2-edge-connected. We obtain the following results. Recently, Adjiashvili [SODA 17] introduced a novel LP for the problem and used it to break the 2-approximation barrier for instances when the maximum cost M of an edge in E is bounded by a constant; his algorithm computes a 1.96418+epsilon approximate solution in time n^{{(M/epsilon^2)}^{O(1)}}. Using a simpler LP, we achieve ratio 12/7+epsilon in time ^{O(M/epsilon^2)}. This also gives ratio better than 2 for logarithmic costs, and not only for constant costs. In addition, we will show that (for arbitrary costs) the problem admits ratio 3/2 for trees of diameter <= 7. One of the oldest open questions for the problem is whether for unit costs (when M=1) the standard LP-relaxation, so called Cut-LP, has integrality gap less than 2. We resolve this open question by proving that for unit costs the integrality gap of the Cut-LP is at most 28/15=2-2/15. In addition, we will suggest another natural LP-relaxation that is much simpler than the ones in previous work, and prove that it has integrality gap at most 7/4.

研究动机与目标

• 开发一种针对加权树增强问题（WTAP）中边代价有界的改进近似算法。
• 弥合 WTAP 的最佳已知近似因子与无权情形（TAP）中已知的 3/2-近似因子之间的差距。
• 实现一种基于 LP 的算法，其近似保证优于 Adjiashvili 所得的 ≈1.96418 + ε 结果。
• 证明结合强 LP 松弛与分解技术可实现更紧的舍入，从而获得更优的近似比。

提出的方法

• 通过向 WTAP 的标准割 LP 添加所有 0-1/2 Chvátal-Gomory 割，引入‘奇割 LP’。
• 证明当实例仅包含交叉边和上行边时，奇割 LP 是整数的，利用整数 Binet 矩阵理论。
• 将奇割 LP 与 Adjiashvili 方法中的束约束结合，形成‘奇割束 LP’，该 LP 在算法中被使用。
• 应用 4M/ε²-稀疏边分解，将实例划分为独立的子问题，每个子问题具有 10M/ε²-简单结构。
• 采用两种不同的舍入过程：一种基于奇割 LP 在交叉边/上行边实例中的整数性，另一种基于束约束处理下行边占主导的情形。
• 通过组合两种舍入策略，控制解的总代价，确保其不超过最优解的 (3/2 + ε) 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基于 LP 的方法，将有界边代价 WTAP 的近似因子改进至 2 以下？
• RQ2 在标准 LP 中添加 0-1/2 Chvátal-Gomory 割是否能产生更强的松弛，从而实现更优的舍入？
• RQ3 能否利用奇割 LP 在交叉边与上行边实例中的整数性，来改进近似保证？
• RQ4 能否将奇割 LP 与束约束结合，实现有界代价 WTAP 的 3/2 + ε-近似？
• RQ5 所得到的算法是否可在保持改进近似因子的前提下，以多项式时间实现？

主要发现

• 对于仅包含交叉边和上行边的 WTAP 实例，奇割 LP 是整数的，这使得在这些情形下可实现精确舍入。
• 所提出的算法在边代价属于 [1, M] 的 WTAP 上实现了 3/2 + ε-近似，优于此前 ≈1.96418 + ε 的最佳界限。
• 该算法基于 LP，且在多项式时间内运行，是首个实现此近似因子的基于 LP 的算法，适用于有界代价的 WTAP。
• 尽管一般情况下分离 0-1/2 Chvátal-Gomory 割是 NP-难的，但奇割 LP 仍可高效求解。
• 分解与舍入框架确保了解的总代价在最优解的 (3/2 + ε) 倍以内，其中 ε 项源于分解与覆盖的代价。
• 对于无权情形（TAP），该结果与最佳已知近似因子一致，且基于 LP 的方法性能与最佳的 SDP 基算法相当。