[论文解读] A $(\frac32+\frac1{\mathrm{e}})$-Approximation Algorithm for Ordered TSP

Susanne Armbruster, Matthias Mnich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对有序TSP问题的新型 $(\frac{3}{2} + \frac{1}{e})$-近似算法，实现了约 1.868 的近似比。该方法引入了一种新的线性规划松弛，并采用一种随机化舍入过程，将LP解分解为加权树，再通过条件期望去随机化将这些树组合成有效巡回，显著优于先前的 5/2-近似界。

ABSTRACT

We present a new $(\frac32+\frac1{\mathrm{e}})$-approximation algorithm for the Ordered Traveling Salesperson Problem (Ordered TSP). Ordered TSP is a variant of the classical metric Traveling Salesperson Problem (TSP) where a specified subset of vertices needs to appear on the output Hamiltonian cycle in a given order, and the task is to compute a cheapest such cycle. Our approximation guarantee of approximately $1.868$ holds with respect to the value of a natural new linear programming (LP) relaxation for Ordered TSP. Our result significantly improves upon the previously best known guarantee of $\frac52$ for this problem and thereby considerably reduces the gap between approximability of Ordered TSP and metric TSP. Our algorithm is based on a decomposition of the LP solution into weighted trees that serve as building blocks in our tour construction.

研究动机与目标

• 通过改进目前已知的最佳近似比，缩小有序TSP与度量TSP近似可解性之间的差距。
• 为有序TSP设计一种新的线性规划松弛，以捕捉有序顶点约束的结构特征。
• 设计一种多项式时间舍入算法，利用树分解与条件期望，实现较强的近似保证。
• 证明有序TSP可被显著优于先前 5/2-近似的算法所逼近，尤其在度量TSP近期取得进展的背景下。

提出的方法

• 为有序TSP引入一种新的线性规划松弛，该松弛推广了Held-Karp松弛，并引入了对指定顶点所需顺序的约束。
• 将LP解分解为对应于尊重顺序约束的树的边集的凸组合。
• 采用一种随机化舍入策略，根据树对成本和顺序约束的贡献选择树，确保期望成本不超过最优LP值的 $(\frac{3}{2} + \frac{1}{e})$ 倍。
• 应用条件期望法对舍入过程进行去随机化，保持期望成本界的同时确保多项式时间计算。
• 从选定的树和边构造一个连通的欧拉多重图，然后将其转换为满足所需顶点顺序的有效哈密顿回路。
• 利用Blauth与Nägele（2023）关于在连通性约束下树分解的已知结果，确保所需树族的存在性及其高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过新型LP松弛与舍入技术，在有序TSP中实现优于5/2的近似比？
• RQ2 如何在LP公式中有效捕捉有序顶点约束的结构，以改进近似保证？
• RQ3 是否可以将有序TSP的LP解分解为保持所需顺序的树的凸组合，从而实现低成本巡回的构造？
• RQ4 能否在保持近似保证的前提下，高效地对随机化舍入过程进行去随机化？
• RQ5 在近期度量TSP取得进展的背景下，该新型LP松弛是否能产生严格优于现有方法的近似比？

主要发现

• 本文在有序TSP上实现了 $(\frac{3}{2} + \frac{1}{e})$-近似比，约为 1.868，显著优于先前已知的最佳近似界 5/2。
• 新型LP松弛相较于标准方法提供了更紧的最优解下界，从而支持了更强的近似保证。
• 随机化舍入过程确保所构造巡回的期望成本至多为LP松弛最优解成本的 $(\frac{3}{2} + \frac{1}{e})$ 倍。
• 通过条件期望实现的去随机化过程保持了近似保证，并确保算法在多项式时间内运行。
• 树分解技术通过确保每条有序链中的顶点在巡回中按顺序访问，成功捕捉了顺序约束。
• 该方法可推广至具有优先约束的TSP问题，并为该更广泛问题类的未来近似算法提供了框架。