[论文解读] A fractional-order difference Cournot duopoly game with long memory

Baogui Xin, Wei Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 88被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于Caputo分数阶差分的分数阶差分古诺双寡头模型，通过引入长期记忆效应，使企业能够基于历史数据进行决策。当分数阶ν < 0.4时，该模型表现出复杂动力学行为，包括混沌，经0-1检验和分岔分析验证，表明长期记忆效应可导致双寡头市场的不稳定性。

ABSTRACT

We reconsider the Cournot duopoly problem in light of the theory for long memory. We introduce the Caputo fractional-order difference calculus to classical duopoly theory to propose a fractional-order discrete Cournot duopoly game model, which allows participants to make decisions while making full use of their historical information. Then we discuss Nash equilibria and local stability by using linear approximation. Finally, we detect the chaos of the model by employing a 0-1 test algorithm.

研究动机与目标

• 将长期记忆动力学整合进经典古诺双寡头模型，采用分数阶差分微积分。
• 分析历史信息对双寡头市场环境下企业行为的影响。
• 研究所得非线性离散系统的稳定性与混沌行为。
• 应用0-1检验算法检测分数阶双寡头模型中的混沌行为。
• 拓展分数阶差分系统在产业经济学与博弈论中的适用性。

提出的方法

• 利用Caputo分数阶差分公式构建离散古诺双寡头模型，以刻画长期记忆效应。
• 采用线性近似方法分析纳什均衡点及局部稳定性条件。
• 推导雅可比矩阵的特征方程，以确定局部渐近稳定性。
• 利用0-1检验算法通过分析平移分量(p, s)与相关系数K来检测混沌行为。
• 通过参数集的数值模拟生成分岔图、时间序列、相图及K散点图。
• 应用涉及伽马函数的分数阶差分公式：$ q_i(n) = q_i(0) + \frac{1}{\Gamma(\nu)} \sum_{i=1}^{n} \frac{\Gamma(n-i+\nu)}{\Gamma(n-i+1)} \alpha_i q_i(i-1)(b - (c_i + 2d)q_i(i-1) - d q_j(i-1)) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过分数阶差分引入长期记忆后，如何影响古诺双寡头模型的稳定性？
• RQ2 在分数阶离散双寡头模型中，何种条件会导致混沌的出现？
• RQ3 分数阶ν如何影响企业产出的分岔结构与动态行为？
• RQ4 0-1检验算法在该长期记忆经济系统中检测混沌的可靠性如何？
• RQ5 分数阶双寡头模型的纳什均衡点能否通过解析方法确定并验证其局部稳定性？

主要发现

• 当$ \nu = 0.99 $时，非有界纳什均衡点$ E_4 = (0.4836, 0.4726) $是局部渐近稳定的，由$ \text{tr}J = -2.3101 $，$ \det J = 0.67378 $，以及$ \nu > \log_2\left(\frac{\sqrt{(\text{tr}J)^2 - 4\det J} - \text{tr}J}{2}\right) = 0.9765 $所证实。
• 当分数阶$ \nu < 0.4 $时，系统中出现混沌，0-1检验结果$ K \approx 1 $，在$ \nu = 0.2 $时$ K = 0.9752 $。
• 企业1产出的分岔图与$ K $的散点图高度一致，证实混沌动力学在$ \nu \in (0, 0.4) $区间内发生。
• 当$ \nu = 0.2 $时，企业产出的时间序列呈现不规则且混沌的特征，相图表现出奇异吸引子结构。
• 当$ \nu = 0.2 $时，$ (p,s) $-平面上的轨迹呈现类似布朗运动的特征，通过0-1检验确认了混沌行为。
• 该模型表明，长期记忆效应显著改变市场动态，即使在简单的双寡头市场设定中，也能引入不稳定性与复杂行为。