[论文解读] A fractional order recovery SIR model from a stochastic process

Christopher N. Angstmann, B. I. Henry+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 43被引用 57

一句话总结

本文从连续时间随机游走（CTRW）过程推导出分数阶SIR模型（frSIR），表明幂律分布的恢复时间自然导致恢复项中出现Caputo分数阶导数。该模型在极限情况下退化为经典SIR模型和Kermack-McKendrick年龄结构模型，并且当分数阶阶数趋近于零时，表现出更高的地方性感染水平。

ABSTRACT

Over the past several decades there has been a proliferation of epidemiological models with ordinary derivatives replaced by fractional derivatives in an an-hoc manner. These models may be mathematically interesting but their relevance is uncertain. Here we develop an SIR model for an epidemic, including vital dynamics, from an underlying stochastic process. We show how fractional differential operators arise naturally in these models whenever the recovery time from the disease is power law distributed. This can provide a model for a chronic disease process where individuals who are infected for a long time are unlikely to recover. The fractional order recovery model is shown to be consistent with the Kermack-McKendrick age-structured SIR model and it reduces to the Hethcote-Tudor integral equation SIR model. The derivation from a stochastic process is extended to discrete time, providing a stable numerical method for solving the model equations. We have carried out simulations of the fractional order recovery model showing convergence to equilibrium states. The number of infecteds in the endemic equilibrium state increases as the fractional order of the derivative tends to zero.

研究动机与目标

• 建立分数阶SIR模型的物理解释基础，以应对流行病学中分数阶导数的随意使用。
• 建立慢性疾病动态模型，其中恢复时间服从幂律分布，导致期望恢复时间发散。
• 证明分数阶恢复模型与Kermack-McKendrick和Hethcote-Tudor积分方程等经典模型的一致性。
• 通过离散时间随机过程公式，开发求解分数阶方程的稳定数值方法。
• 研究分数阶阶数对平衡行为的影响，特别是地方性平衡的规模。

提出的方法

• 将疾病传播建模为S、I、R状态之间的定向连续时间随机游走（CTRW），其中感染状态的等待时间分布为任意分布。
• 利用从I到R状态转移的等待时间概率密度函数，推导SIR模型的一般积分微分方程。
• 表明具有幂律尾部的等待时间分布（Sibuya分布）会在恢复项中导致阶数为1−α的Caputo分数阶导数。
• 推导出与连续时间分数阶模型等价的离散时间随机模型，通过Z-star变换实现稳定数值求解。
• 利用拉普拉斯变换和Z-star变换，取连续时间极限，从离散形式恢复分数阶微分方程。
• 应用Z-star变换的卷积定理与渐近展开，识别连续极限中分数阶导数项。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶SIR模型能否从具有物理动机的随机过程中推导得出，而非人为构造？
• RQ2 哪种随机过程会自然导致SIR模型恢复项中的分数阶导数？
• RQ3 分数阶阶数α如何影响模型中的地方性平衡规模？
• RQ4 分数阶恢复模型在极限情况下是否退化为已知经典模型（如Kermack-McKendrick或Hethcote-Tudor）？
• RQ5 能否从离散时间随机过程公式中推导出收敛于连续时间分数阶模型的稳定数值方法？

主要发现

• 当恢复时间分布服从幂律时，特别是Sibuya分布时，分数阶导数自然出现在SIR模型中。
• 当等待时间分布为指数分布时，该模型退化为经典的Kermack-McKendrick年龄结构SIR模型。
• 当参数恒定且等待时间具有幂律尾部时，该模型退化为Hethcote-Tudor积分方程SIR模型。
• 当分数阶阶数α趋近于零时，地方性平衡中感染个体的数量增加，表明感染持续时间更长或呈慢性化。
• 离散时间随机过程公式提供了稳定的数值格式，其在∆t → 0极限下收敛于连续时间分数阶模型。
• 仅当转移概率r按r = µ∆t^α缩放时，连续时间极限才具有明确定义，从而确保分数阶导数项保持有限。