[论文解读] A fractional space-time optimal control problem: analysis and discretization\

Harbir Antil, Enrique Otárola+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文研究了一个涉及空间分数阶扩散（通过Caffarelli-Silvestre扩展）和Caputo分数阶时间导数的抛物型方程的线性-二次最优控制问题。提出了一种全离散格式，采用空间中的一次有限元和时间上的后向欧拉时间离散化，结合分段常数控制，证明了收敛性并推导出在γ=1且s∈(0,1)时最优的先验误差估计。

ABSTRACT

We study a linear-quadratic optimal control problem involving a parabolic equation with fractional diffusion and Caputo fractional time derivative of orders $s \in (0,1)$ and $γ\in (0,1]$, respectively. The spatial fractional diffusion is realized as the Dirichlet-to-Neumann map for a nonuniformly elliptic operator. Thus, we consider an equivalent formulation with a quasi-stationary elliptic problem with a dynamic boundary condition as state equation. The rapid decay of the solution to this problem suggests a truncation that is suitable for numerical approximation. We consider a fully-discrete scheme: piecewise constant functions for the control and, for the state, first-degree tensor product finite elements in space and a finite difference discretization in time. We show convergence of this scheme and, for $s \in (0,1)$ and $γ= 1$, we derive a priori error estimates.

研究动机与目标

• 分析并发展一种针对涉及空间-时间分数阶导数的抛物型PDE的线性-二次最优控制问题的数值方法。
• 通过使用Caffarelli-Silvestre扩展，克服分数阶扩散和时间导数的非局部性，将问题重新表述为带有动态边界条件的拟稳态椭圆方程。
• 设计一种全离散格式，结合空间中分段常数控制和空间中的一次有限元，时间上采用后向欧拉时间离散化。
• 建立离散格式的收敛性，并推导状态变量、控制变量和伴随变量的先验误差估计。
• 通过空间和时间上的收敛率数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 利用Caffarelli-Silvestre扩展重新表述分数阶时空最优控制问题，将分数阶拉普拉斯算子转化为半无限圆柱体上的Dirichlet-to-Neumann映射。
• 在扩展域中使用拟稳态椭圆问题并引入动态边界条件来表示状态方程，从而可通过标准有限元方法进行数值处理。
• 在空间和时间上使用分段常数函数对控制进行离散化，状态和伴随变量则在空间上使用连续分段线性有限元，时间上使用后向欧拉方法。
• 基于扩展解在y方向上的快速衰减特性，采用截断策略使问题在计算上可行。
• 利用加权Sobolev空间和稳定性分析，推导控制和状态变量的先验误差估计。
• 在MATLAB中实现该格式，采用刚度矩阵和质量矩阵的精确组装，并通过带Armijo线搜索的投影BFGS方法求解优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有空间-时间分数阶导数的抛物型最优控制问题重新表述，以实现数值求解？
• RQ2 对于此类问题，全离散有限元格式的收敛行为如何，特别是空间和时间离散化的影响？
• RQ3 当时间导数为阶数γ=1的Caputo导数，空间扩散为阶数s∈(0,1)的分数阶扩散时，控制和状态变量的先验误差估计为何种形式？
• RQ4 空间和时间上的收敛率如何依赖于分数阶参数s和γ？
• RQ5 在扩展维数中采用各向异性网格加密时，所提出的数值格式能否实现最优收敛率？

主要发现

• 所提出的全离散格式收敛于分数阶时空最优控制问题的真实解。
• 当γ=1且s∈(0,1)时，控制在L²(0,T;L²(Ω))-范数下的收敛率为最优的𝒪(N⁻¹/³)，其中N为自由度数。
• 状态变量的收敛率为𝒪(N⁻²/³)，与s∈(0,1)时的理论估计𝒪(N⁻⁽¹⁺ˢ⁾/³)一致，尽管该速率的完整理论证明留待未来工作。
• 在时间方向上，控制误差以最优速率𝒪(𝒦⁻¹)衰减，其中𝒦为时间步数，证实了后向欧拉方法的预期精度阶。
• 数值实验在s∈(0.2,0.8)的不同取值下均验证了理论预测的空间和时间收敛率，表明该格式具有鲁棒性。
• 在扩展维数（y方向）中采用各向异性网格加密对恢复最优收敛率至关重要，与理论预测一致。