[论文解读] A Framework for Dependent Types and Effects

Matthijs Vákár|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文提出 dCBPV-，即一种依赖类型扩展的调用-按值-推-值（call-by-push-value）语言，通过自然的小步操作语义和优美的范畴语义，支持计算效应，实现了对单子式和 CBN 依赖类型理论的完整且忠实的翻译。此外，本文还提出了 dCBPV+，通过引入依赖 Kleisli 扩展来编码 CBV 依赖类型理论和正向连通词，尽管为此付出了潜在类型唯一性丧失的代价，该代价通过子类型化形式化表达。

ABSTRACT

We generalise Levy's call-by-push-value (CBPV) to dependent type theory, to gain a better understanding of how to combine dependent types with effects. We define a dependently typed extension of CBPV, dCBPV-, and show that it has a very natural small-step operational semantics, which satisfies subject reduction and (depending on the effects present) determinism and strong normalization, and an elegant categorical semantics, which - surprisingly - is no more complicated than the simply typed semantics. We have full and faithful translations from a dependently typed version of Moggi's monadic metalanguage and of a call-by-name (CBN) dependent type theory into dCBPV- which give rise to the expected operational behaviour. However, it turns out that dCBPV- does not suffice to encode call-by-value (CBV) dependent type theory or the strong (dependent) elimination rules for positive connectives in CBN-dependent type theory. To mend this problem, we discuss a second, more expressive system dCBPV+, which additionally has a principle of Kleisli extension for dependent functions. We obtain the desired CBV- and CBN-translations of dependent type theory into dCBPV+. It too has a natural categorical semantics and operational semantics. However, depending on the effects we consider, we may lose uniqueness of typing, as the type of a computation may become more specified as certain effects are executed. This idea can be neatly formalized using a notion of subtyping. We hope that the theoretical framework of this paper on the one hand provides at least a partial answer to the fundamental type theoretic question of how one can understand the relationship between computational effects and dependent types. On the other hand, we hope it can contribute a small-step towards the ultimate goal of an elegant fully fledged language for certified effectful programming.

研究动机与目标

• 开发一个系统化的框架，将计算效应与依赖类型理论相结合，解决现有系统中的局限性。
• 将 Levy 的调用-按值-推-值（CBPV）演算扩展至依赖类型，保持课题约化和强规范性。
• 解决 dCBPV- 无法编码调用-按值（CBV）依赖类型理论以及 CBN 中正向连通词的强消除规则的问题。
• 通过引入具有依赖 Kleisli 扩展的 dCBPV+，实现对 CBV 和 CBN 依赖类型系统的完整编码。
• 通过范畴模型和操作语义，为可信效应编程提供语义基础。

提出的方法

• 通过 dCBPV- 将 CBPV 扩展至依赖类型，引入满足课题约化和在特定效应下确定性的自然小步操作语义。
• 为 dCBPV- 定义范畴语义，其复杂度与简单类型情况相当，利用伴随关系建模计算类型与值类型之间的分离。
• 通过引入依赖函数的 Kleisli 扩展原则，提出 dCBPV+，以支持 CBV 和 CBN 依赖类型系统的编码。
• 使用子类型化形式化 dCBPV+ 中的类型唯一性缺失，其中效应执行可能细化计算的类型。
• 提供从 Moggi 的单子式元语言和 CBN 依赖类型理论到 dCBPV- 的完整且忠实的翻译，保持操作行为不变。
• 使用博弈语义和域语义作为模型来验证该框架，尤其适用于递归、控制操作和局部状态等效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将依赖类型与计算效应结合，以保持类型安全和操作清晰性？
• RQ2 为何 dCBPV- 无法编码 CBV 依赖类型理论以及 CBN 中正向连通词的强消除规则？
• RQ3 依赖 Kleisli 扩展原则是否能恢复 dCBPV+ 中的表达能力，同时保持一致的语义？
• RQ4 在 dCBPV+ 中引入效应在多大程度上损害了类型唯一性，以及如何形式化表达这一问题？
• RQ5 该框架是否能够支持诸如归纳族、类型族和归纳-递归定义等高级类型构造？

主要发现

• dCBPV- 支持自然的小步操作语义，满足课题约化，且在特定效应下具备确定性和强规范性。
• dCBPV- 的范畴语义与简单类型情况一样简洁，表明依赖类型并不会固有地使效应语义复杂化。
• dCBPV+ 引入了依赖 Kleisli 扩展，使得 CBV 和 CBN 依赖类型理论能够被完整编码，而这是 dCBPV- 所无法表达的。
• 在 dCBPV+ 中，计算的类型可能在效应执行过程中变得更加具体化，这一现象通过子类型化概念形式化表达。
• 该框架支持包含递归、控制操作和局部状态等效应的依赖类型理论模型，通过博弈语义和域语义得到验证。
• 该系统提供了从单子式和 CBN 依赖类型理论到 dCBPV+ 的完整且忠实的翻译，保持了操作行为，并支持对效应程序的验证。