[论文解读] A Framework for Forcing Constructions at Successors of Singular Cardinals

James Cummings, Mirna Džamonja+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 2

一句话总结

本文提出一种新的强迫框架，用于构造在某个不可数余维的奇异基数 κ 处奇异基数假设（SCH）失效，同时确保 κ⁺ 支持一个小型通用图族的模型。通过使用迭代强迫与 Radin 强迫及钻石序列，作者证明了在相对一个超紧致基数的前提下，存在一个大小为 κ⁺⁺ 的 κ⁺ 上的图的通用族，即使在 2κ = 2κ⁺ = Θ 且 Θ 的余维 ≥κ⁺⁺ 的情况下也成立。

ABSTRACT

We describe a framework for proving consistency results about singular cardinals of arbitrary cofinality and their successors. This framework allows the construction of models in which the Singular Cardinals Hypothesis fails at a singular cardinal of uncountable cofinality, while its successor enjoys various combinatorial properties. As a sample application, we prove the consistency (relative to that of ZFC plus a supercompact cardinal) of there being a strong limit singular cardinal $κ$ of uncountable cofinality where SCH fails and for which there is a collection of graphs on $κ^+$ whose size is less than $2^κ$ and such that any graph on $κ^+$ embeds into one of the graphs in the collection.

研究动机与目标

• 开发一种在不可数余维的奇异基数的后继上进行迭代强迫构造的一般框架。
• 克服标准强迫迭代在 κ 为奇异基数时的局限性，特别是 κ⁺-链条件的失效。
• 在 2κ > κ⁺ 的情况下实现 κ⁺ 上存在一个小型通用图族，这一情形与 GCH 不相容。
• 将先前关于 Prikry 强迫下通用图的结果扩展到缺乏齐次性的 Radin 强迫，后者会添加有界子集。
• 建立在奇异强极限基数 κ 处 SCH 失效（且余维不可数）的同时保持大基数结构的相对一致性。

提出的方法

• 引入一种新的迭代框架，使用满足强形式的 κ⁺-静止链条件的强迫的 <κ-支撑迭代。
• 利用钻石序列来控制 κ⁺ 的子集的名称的构造，取代早期工作中使用的复杂迭代方案。
• 使用长 Mathias 强迫的一种变体来添加图的 Radin 名称，从而对 κ⁺ 的最终结构实现控制。
• 为 Radin 强迫及其变体量身定制，开发一个关于 κ⁺-静止链条件在迭代下的保持定理。
• 应用 Radin 强迫将一个超紧致基数 κ 的余维改变为一个小于 κ 的不可数正则数 λ，同时保持基数不变。
• 将该强迫与一个超紧致性迭代及一个 Radin 扩展结合，以实现 2κ = 2κ⁺ = Θ 且 Θ 具有高余维。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 2κ > κ⁺ 且在不可数余维的奇异基数 κ 处 SCH 失效时，κ⁺ 上大小为 κ⁺⁺ 的图的通用族是否存在？
• RQ2 尽管 Radin 强迫缺乏齐次性且会添加有界子集，是否仍可用 Radin 强迫而非 Prikry 强迫来构造此类模型？
• RQ3 何种强迫迭代框架可在 κ 为奇异基数时保持基数并确保 κ⁺-链条件？
• RQ4 如何利用钻石序列来取代复杂迭代方案，以控制 κ⁺ 的子集的名称？
• RQ5 当 SCH 失效时，κ⁺ 上存在一个小型通用图族的精确一致性强度为何？

主要发现

• 本文建立了在不可数余维的强极限奇异基数 κ 处 SCH 失效，且 2κ = 2κ⁺ = Θ 满足 cf(Θ) ≥κ⁺⁺ 的一致性。
• 证明了在 κ 为超紧致且 cf(κ) = λ < κ 的强迫扩张中，κ⁺ 上存在一个大小为 κ⁺⁺ 的图的通用族。
• 该框架确保在迭代过程中，所有低于 κ 的基数、κ 本身以及所有高于 κ 的基数均被保持。
• 该构造使用了一项关于 κ⁺-静止链条件的新保持定理，这对在迭代中维持链条件至关重要。
• 最终模型满足：任何 κ⁺ 上的图都可嵌入于该通用族中的 κ⁺⁺ 个图之一。
• 该结果在一致性强度上被证明是最优的，因为奇异基数处 SCH 的失效需要一个 Mitchell 序数 o(κ) = κ⁺⁺ 的可乘基数。