[论文解读] A Framework of Quantum Strong Exponential-Time Hypotheses

Harry Buhrman, Subhasree Patro+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文提出了强指数时间假设（SETH）的量子模拟版本——量子SETH（QSETH），以建立BQP中问题的条件性量子时间下界。通过利用量子查询下界及从黑箱问题的归约，该框架为编辑距离推导出条件性Ω(n^1.5)的量子时间下界，并在量子SETH假设下保持了验证者与证明者之间在‘有用工作证明’方案中的二次方差距，表明量子加速不会使经典细粒度硬性假设失效。

ABSTRACT

The closest pair problem is a fundamental problem of computational geometry: given a set of n points in a d-dimensional space, find a pair with the smallest distance. A classical algorithm taught in introductory courses solves this problem in O(n log n) time in constant dimensions (i.e., when d = O(1)). This paper asks and answers the question of the problem’s quantum time complexity. Specifically, we give an Õ(n^(2/3)) algorithm in constant dimensions, which is optimal up to a polylogarithmic factor by the lower bound on the quantum query complexity of element distinctness. The key to our algorithm is an efficient history-independent data structure that supports quantum interference. In polylog(n) dimensions, no known quantum algorithms perform better than brute force search, with a quadratic speedup provided by Grover’s algorithm. To give evidence that the quadratic speedup is nearly optimal, we initiate the study of quantum fine-grained complexity and introduce the Quantum Strong Exponential Time Hypothesis (QSETH), which is based on the assumption that Grover’s algorithm is optimal for CNF-SAT when the clause width is large. We show that the naïve Grover approach to closest pair in higher dimensions is optimal up to an n^o(1) factor unless QSETH is false. We also study the bichromatic closest pair problem and the orthogonal vectors problem, with broadly similar results.

研究动机与目标

• 形式化强指数时间假设（SETH）的量子版本，以将细粒度复杂性扩展至量子计算领域。
• 通过量子查询复杂性，将基于经典SETH的条件性下界迁移至量子设置。
• 在QSETH假设下，为BQP中的问题（特别是编辑距离和有用工作证明）建立新的量子时间下界。
• 分析经典细粒度硬性假设在量子计算下的鲁棒性，特别是关于Grover算法带来的二次方加速。

提出的方法

• 提出量子强指数时间假设（QSETH）框架，作为经典SETH的量子模拟版本，整合了Grover算法带来的二次方加速。
• 利用量子对抗方法和黑箱问题的查询复杂性下界，推导条件性量子时间下界。
• 通过将承诺问题（如PPedit）归约至已知问题（如编辑距离和有用工作证明），实现下界的转移。
• 引入‘压缩无关性’属性的概念，以确保下界不会因输入压缩而失效。
• 利用NC-QSETH的承诺版本，为具有结构化输入（如有界深度Dyck语言）的问题推导出紧致下界。
• 利用已知的量子查询下界（例如正交向量和Dyck语言）并通过归约将其映射至时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过SETH的量子模拟版本，将基于经典SETH的条件性下界扩展至量子设置？
• RQ2 在假设量子算法无法在CNF-SAT上显著超越Grover算法的二次方加速的前提下，编辑距离的量子时间复杂度是多少？
• RQ3 在QSETH假设下，‘有用工作证明’方案中验证者与证明者之间的二次方差距是否仍然成立？
• RQ4 黑箱问题的量子查询下界如何转化为BQP中问题的量子时间下界？
• RQ5 诸如奇偶性或Dyck语言成员关系等自然属性是否具有压缩无关性，以确保下界在输入压缩下依然成立？

主要发现

• 在NC-QSETH的承诺版本下，计算编辑距离的有界误差量子时间复杂度为Ω(n^1.5)。
• 深度k = ω(log n)的受限Dyck语言的量子查询复杂度为Ω(n^{1−o(1)}），部分解决了[AGS19]中的一个开放问题。
• ‘有用工作证明’方案的n^2量子时间下界在QSETH下依然成立，验证者与证明者之间的二次方差距得以保持。
• 该框架成功地将基于经典SETH的下界迁移至量子设置，且保持一致的二次方因子，表明Grover加速不会使编辑距离等问题的细粒度硬性失效。
• 本文表明，在白盒设置下，PPedit的量子查询下界为Ω(2^{0.75n})，这意味着编辑距离存在条件性量子时间下界。
• 该框架识别出经典条件性下界在量子环境中依然有效的条件，特别是当属性具有压缩无关性时。