[论文解读] A Franks' lemma that preserves invariant manifolds

Nikolaz Gourmelon|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 11

一句话总结

该论文通过证明在保持强稳定/不稳定流形存在性的前提下，沿周期轨道的导数扰动路径可保持这些流形不变，从而将Franks引理由$C^1$-动力系统推广。关键贡献是一种基于路径同伦的扰动技术，可在任意小邻域内保持半局部不变流形，从而实现对非主导设定下同宿结构与动力行为的控制。

ABSTRACT

A well-known lemma by John Franks asserts that one obtains any perturbation of the derivative of a diffeomorphism along a periodic orbit by a $C^1$-perturbation of the whole diffeomorphism on a small neighbourhood of the orbit. However, one does not control where the invariant manifolds of the orbit are, after perturbation. We show that if the perturbated derivative is obtained by an isotopy along which some strong stable/unstable manifolds of some dimensions exist, then the Franks perturbation can be done preserving the corresponding stable/unstable semi-local manifolds. This is a general perturbative tool in $C^1$-dynamics that has many consequences. We give simple examples of such consequences, for instance a generic dichotomy between dominated splitting and small stable/unstable angles inside homoclinic classes

研究动机与目标

• 解决标准$C^1$-扰动下Franks引理中对不变流形控制不足的问题。
• 开发一种在导数扰动下保持周期轨道强稳定/不稳定流形的扰动方法。
• 提供一种系统化工具，用于在无主导分裂的情形下构造同宿切触与异宿环。
• 将Franks引理由保持单个强流形推广至保持整个强流形旗结构的同伦导数路径下。
• 使该方法适用于$C^1$-泛型动力系统，特别是具有小角度或弱主导性的非双曲设定。

提出的方法

• 该方法使用沿周期轨道导数路径的线性柯 cycle 同伦。
• 要求在整个同伦路径上，指定维数的强稳定/不稳定方向始终存在。
• 扰动构造使得所得微分同胚$g$在周期轨道及其外部小邻域$U$上与$f$一致，且在轨道处匹配新的导数元组。
• 该构造确保若$i$-强稳定方向存在且在某点处前$i$个最大特征值模长相等，则$g$的$j$-强稳定流形（对所有$j\leq i$）在给定环形区域$A(f,P)$上与$f$的流形重合。
• 该$C^1$-扰动的大小可被控制得任意接近矩阵空间中同伦路径的半径。
• 该技术依赖于$C^1$-线性化及早期研究中的扰动结果（如引理6与命题1.5），并经调整以保持不变流形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Franks引理能否被修改，以在周期轨道上导数的$C^1$-扰动下保持强稳定/不稳定流形？
• RQ2 在导数同伦路径下，何种条件下可保持不变流形的半局部结构？
• RQ3 如何系统性地构造同宿切触或异宿环，同时保持关键的不变流形结构？
• RQ4 特征值模长相等性以及强子丛的存在性在控制扰动对不变流形影响方面起何作用？
• RQ5 该方法能否扩展至保持整个强流形旗结构，并应用于保测度、辛或流系统？

主要发现

• 可在周期轨道上构造出$C^1$-扰动微分同胚$g$，使其匹配任意导数扰动，且在给定环形区域上保持所有$j\leq i$的$j$-强稳定流形不变，前提是同伦路径上存在$i$-强稳定方向。
• 扰动的大小可被控制得任意接近矩阵空间中同伦路径的半径，从而确保最小畸变。
• 当在某时刻$t_0$处导数的前$i$个最大稳定特征值模长相等时，该扰动在环形区域内保持整个$i$-可接受强稳定流形旗不变。
• 该方法可在无强主导性的同宿类内部实现同宿切触与异宿环的构造，通过保持相关不变流形结构实现。
• 该结果可推广至由特征值同伦决定的旗同伦类，从而实现对半局部动力行为的控制。
• 该技术可经额外技术处理推广至保测度与辛设定，并可适配至流系统。