[论文解读] A free boundary problem for semi-linear elliptic equation and its applications

Jianfeng Cheng, Lili Du|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文建立了具有伯努利型自由边界条件的半线性非齐次椭圆方程的解以及自由边界的解的存在性、利普希茨连续性、非退化性与正则性。通过变分方法，证明了自由边界具有 $ C^{1,\beta} $-正则性，并将结果应用于证明具有通解旋度的定常、不可压缩、无粘性射流与空化流的适定性。

ABSTRACT

In this paper, we consider a free boundary problem of a semilinear nonhomogeneous elliptic equation with Bernoulli's type free boundary. The existence and regularity of the solution to the free boundary problem are established by use of the variational approach. In particular, we establish the Lipschitz continuity and non-degeneracy of a minimum, and regularity of the free boundary. As a direct and important application, the well-posedness results on the steady, incompressible inviscid jet and cavitational flow with general vorticity are also obtained in this paper.

研究动机与目标

• 建立由半线性非齐次椭圆方程与伯努利型条件控制的自由边界问题的解的存在性与正则性。
• 将经典齐次情形下的结果（如 Alt 和 Caffarelli 的结果）推广至具有可变旋度的非齐次、半线性情形。
• 证明极小化子的利普希茨连续性与非退化性，以及自由边界的 $ C^{1,\beta} $-正则性。
• 将理论结果应用于证明具有通解旋度的定常、不可压缩、无粘性射流与空化流的适定性。
• 在物理流动模型的背景下，建立解与自由边界的唯一性与单调性。

提出的方法

• 将问题表述为泛函 $ J(\theta) = ∫_\Omega (|\nabla\theta|^2 + F(\theta) + \lambda^2(X) \chi_{\{\theta>0\}}) \, dX $ 的变分极小化问题，其中 $ F(t) = -2\int_0^t f(s)\,ds $。
• 使用变分法的直接方法，在适当的索伯列夫空间中证明极小化子的存在性。
• 采用爆破分析与测度估计方法，研究解在自由边界附近的性质。
• 运用强最大值原理与霍普夫引理，比较解以建立自由边界与边界值 $ \lambda $ 的唯一性。
• 建立自由边界附近的平坦性与线性增长估计，以推导其正则性。
• 利用下游区域中解的渐近行为，证明流动剖面的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非齐次项 $ f(\psi) \neq 0 $ 的半线性椭圆自由边界问题，能量泛函的极小化子是否存在？
• RQ2 在一般旋度条件下，能否建立极小化子的利普希茨连续性与非退化性？
• RQ3 当 $ f(\psi) \neq 0 $ 时，自由边界 $ \partial\{\psi > 0\} \cap \Omega $ 是否正则（具体为 $ C^{1,\beta} $）？
• RQ4 能否将理论结果应用于证明具有通解旋度的定常、不可压缩、无粘性射流与空化流的存在性与唯一性？
• RQ5 在物理流动模型的自由边界问题背景下，边界值 $ \lambda $ 是否唯一？

主要发现

• 能量泛函的极小化子 $ \psi $ 在 $ \Omega $ 上是利普希茨连续的，如定理 2.4 所证。
• 极小化子满足非退化性条件：当 $ x_0 \in \partial\{\psi > 0\} $ 时，对某个 $ c > 0 $，有 $ \sup_{B_r(x_0)} \psi \geq c r $，且对所有 $ r $ 一致成立。
• 自由边界 $ \Gamma = \partial\{\psi > 0\} \cap \Omega $ 具有 $ C^{1,\beta} $-正则性，如定理 3.15 所证。
• 满足给定边界条件与自由边界条件的自由边界问题的解 $ \psi $ 在极小化子类中是唯一的。
• 边界值 $ \lambda $ 由解在下游区域的渐近行为唯一确定。
• 通过变分框架，建立了具有通解旋度的定常、不可压缩、无粘性射流与空化流的适定性。