[论文解读] A fully discrete low-regularity integrator for the 1D periodic cubic nonlinear Schrödinger equation

Buyang Li, Yifei Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对一维周期性立方非线性薛定谔方程、具有 $ H^1 $ 初始数据的全离散、全显式的低正则性积分器。通过使用扭曲变量、频率截断以及基于 FFT 的空间离散化，该方法在无需满足 CFL 条件的情况下，实现了 $ L^2 $-范数误差界为 $ O(\tau\sqrt{\ln(1/\tau)} + N^{-1}) $，证明了在对数因子范围内的一阶收敛性。

ABSTRACT

A fully discrete and fully explicit low-regularity integrator is constructed for the one-dimensional periodic cubic nonlinear Schrödinger equation. The method can be implemented by using fast Fourier transform with $O(N\ln N)$ operations at every time level, and is proved to have an $L^2$-norm error bound of $O(τ\sqrt{\ln(1/τ)}+N^{-1})$ for $H^1$ initial data, without requiring any CFL condition, where $τ$ and $N$ denote the temporal stepsize and the degree of freedoms in the spatial discretisation, respectively.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有非光滑初始数据的一维周期性立方非线性薛定谔方程的全离散、全显式数值方法。
• 在 $ H^1 $ 初始数据下实现时间与空间上的一阶收敛，避免对高正则性假设的依赖。
• 构建一种利用快速傅里叶变换（FFT）的计算高效方法，每时间步仅需 $ O(N\ln N) $ 次运算。
• 在低正则性假设下消除对 CFL 条件的需求，同时保持最优收敛速率。
• 通过调和分析技术，在频域中统一分析空间与时间离散化误差。

提出的方法

• 该方法采用扭曲变量变换，以减少指数积分器框架中的相容性误差。
• 采用不同的调和分析技术，分别近似指数积分中低频与高频分量。
• 空间离散化通过重复频率截断和 FFT 实现：一个 $ (4N+1) $-点 FFT 用于计算两个 $ (2N+1) $-项傅里叶级数的乘积，随后截断回 $ (2N+1) $ 项。
• 该方法避免了三角插值误差，确保空间离散化误差仅源于频率截断。
• 该格式为全显式，通过 FFT 实现，每时间步仅需 $ O(N\ln N) $ 次运算。
• 在频域中利用离散 Bourgain 空间估计和数值解的 $ H^1 $-正则性，分析了稳定性和相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 全离散、全显式的积分器能否在一维周期性立方 NLS 中，对 $ H^1 $ 初始数据实现 $ L^2 $ 范数下的一阶收敛？
• RQ2 能否构造一种无需 CFL 条件的此类方法？
• RQ3 能否通过调和分析技术，在频域中联合分析空间与时间离散化误差？
• RQ4 如何在非线性项中高效使用 FFT，同时避免引入插值误差？
• RQ5 当初始数据正则性最低时，该方法能否保持最优收敛速率？

主要发现

• 所提方法对 $ H^1 $ 初始数据实现了 $ L^2 $-范数误差界 $ O(\tau\sqrt{\ln(1/\tau)} + N^{-1}) $，且无需 CFL 条件。
• 数值实验验证了对 $ H^1 $ 初始数据的时序收敛率为约 $ O(\tau^{1.02}) $，与理论边界一致。
• 对 $ H^2 $ 初始数据，方法实现了 $ O(\tau + N^{-2}) $ 的误差，表明空间收敛达到最优。
• 空间离散化误差完全源于频率截断，未引入插值误差。
• $ H^1 $-范数的全离散数值解在 $ \tau $ 和 $ N $ 上一致有界。
• 该方法计算高效，每时间步仅需 $ O(N\ln N) $ 次运算，利用 FFT 实现。