[论文解读] A fully discrete variational scheme for solving nonlinear Fokker-Planck equations in higher space dimensions

Oliver Junge, Daniel Matthes+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 11

一句话总结

本论文提出了一种全离散的变分拉格朗日格式，用于在高维空间中求解非线性福克-普朗克方程，该方法利用了方程在$L^2$-Wasserstein度量下的梯度流结构及其作为流映射下前推表示的特性。该格式具有熵递减、质量守恒的性质，在正则性假设下具有收敛性，并在二维空间中进行了数值验证。

ABSTRACT

We introduce a novel spatio-temporal discretization for nonlinear Fokker-Planck equations on the multi-dimensional unit cube. This discretization is based on two structural properties of these equations: the first is the representation as a gradient flow of an entropy functional in the $L^2$-Wasserstein metric, the second is the Lagrangian nature, meaning that solutions can be written as the push forward transformation of the initial density under suitable flow maps. The resulting numerical scheme is entropy diminishing and mass conserving. Further, the scheme is weakly stable, which allows us to prove convergence under certain regularity assumptions. Finally, we present results from numerical experiments in space dimension $d=2$.

研究动机与目标

• 为高维空间中的非线性福克-普朗克方程开发一种结构保持的数值格式。
• 利用$L^2$-Wasserstein度量下的梯度流结构以及通过微分同胚流的拉格朗日公式化方法。
• 在全离散框架下确保关键物理性质——熵减少与质量守恒。
• 在压力函数、势能和初始数据具有正则性的假设下，建立格式的弱稳定性和收敛性。
• 通过在微分同胚的有限维流形上应用最小化运动方法，在二维空间中对格式进行数值验证。

提出的方法

• 将福克-普朗克方程表述为在$L^2$-Wasserstein度量下熵泛函的梯度流。
• 将解表示为参考密度在时变微分同胚$\mathfrak{T}_t$下的前推。
• 将微分同胚映射$\mathfrak{T}_\Delta^n$的演化离散化为一系列增量微分同胚$\mathfrak{t}_\Delta^m$的复合。
• 在微分同胚流形上对能量泛函的梯度流应用最小化运动格式，通过最小化一个时间离散的行动泛函。
• 对增量微分同胚采用有限维近似，确保计算可行性的同时保持几何结构。
• 通过测度变换与雅可比变换，将熵泛函在$L^2(\mathrm{d}x)$上的梯度与在微分同胚流形上的$L^2(\bar{u})$梯度相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为高维空间中的非线性福克-普朗克方程构造一种全离散的变分格式，使其保持熵与质量？
• RQ2 如何在时空离散化中保持几何一致性地离散化福克-普朗克方程的拉格朗日结构？
• RQ3 在压力函数和外势能具有正则性的假设下，此类格式的收敛行为如何？
• RQ4 在微分同胚流形上应用最小化运动方法如何确保稳定性和结构保持性？
• RQ5 该格式在二维空间中的数值表现如何，特别是在熵衰减与质量守恒方面的表现？

主要发现

• 所提出的格式具有熵递减与质量守恒的性质，继承了连续问题中的关键物理特性。
• 该格式具有弱稳定性，使得在$\mathrm{P}$、$V$和$u^0$具有适当正则性的假设下，能够证明其收敛性。
• 离散演化通过在微分同胚的有限维流形上应用最小化运动方法构建，确保了计算上的可行性。
• 通过前推测度与雅可比行列式，显式刻画了在微分同胚流形上能量泛函的梯度。
• 在$d=2$下的数值实验表明，该格式能够随时间保持熵的衰减与质量的守恒。
• 理论分析证实，熵泛函在$L^2(\mathrm{d}x)$上的梯度，通过测度变换与前推结构，等价于在微分同胚流形上的$L^2(\bar{u})$梯度。