[论文解读] A functional central limit theorem for branching random walks, almost sure weak convergence, and applications to random trees

Rudolf Grübel, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文为超临界分支随机游走建立了功能性中心极限定理，证明了条件分布几乎必然弱收敛于具有随机方差的高斯解析函数。该结果被应用于推导随机树中路径长度的中心极限定理，通过将弱收敛替换为几乎必然弱收敛，恢复并强化了Neininger关于二叉搜索树的结果，并将其推广至均匀随机递归树。

ABSTRACT

Let $W_{\\infty}(\\beta)$ be the limit of the Biggins martingale $W_n(\\beta)$ associated to a supercritical branching random walk with mean number of offspring $m$. We prove a functional central limit theorem stating that as $n\ o\\infty$ the process $$ D_n(u):= m^{\\frac 12 n} \\left(W_{\\infty}\\left(\\frac{u}{\\sqrt n}\ ight) - W_{n}\\left(\\frac{u}{\\sqrt n}\ ight) \ ight) $$ converges weakly, on a suitable space of analytic functions, to a Gaussian random analytic function with random variance. Using this result we prove central limit theorems for the total path length of random trees. In the setting of binary search trees, we recover a recent result of R. Neininger [Refined Quicksort Asymptotics, Rand. Struct. and Alg., to appear], but we also prove a similar theorem for uniform random recursive trees. Moreover, we replace weak convergence in Neininger's theorem by the almost sure weak (a.s.w.) convergence of probability transition kernels. In the case of binary search trees, our result states that $$ L\\left\\{\\sqrt{\\frac{n}{2\\log n}} \\left(EPL_{\\infty} - \\frac{EPL_n-2n\\log n}{n}\ ight)\\Bigg | G_{n}\ ight\\} \ o \\{\\omega\\mapsto N_{0,1}\\}, \\quad \ ext{a.s.w.},$$ where $EPL_n$ is the external path length of a binary search tree $X_n$ with $n$ vertices, $EPL_{\\infty}$ is the limit of the R\\'egnier martingale, and $L(\\,\\cdot\\, |G_n)$ denotes the conditional distribution w.r.t. the $\\sigma$-algebra $G_n$ generated by $X_1,\\ldots,X_n$. A.s.w. convergence is stronger than weak and even stable convergence. We prove several basic properties of the a.s.w. convergence and study a number of further examples in which the a.s.w. convergence appears naturally. These include the classical central limit theorem for Galton-Watson processes and the P\\'olya urn.

研究动机与目标

• 为超临界分支随机游走中的Biggins鞅建立功能性中心极限定理。
• 构建一个几乎必然弱收敛的条件转移核框架，其强度超过弱收敛与稳定收敛。
• 将功能性中心极限定理应用于推导随机二叉搜索树与均匀随机递归树中总路径长度的二阶渐近展开。
• 通过将弱收敛替换为几乎必然弱收敛，对Neininger近期关于二叉搜索树的中心极限定理进行改进。
• 证明归一化路径长度差值的极限分布给定树的历史条件后，几乎必然弱收敛于标准正态分布。

提出的方法

• 推导过程 $ D_n(u) = m^{n/2} \left( W_\infty(u/\sqrt{n}) - W_n(u/\sqrt{n}) \right) $ 的功能性中心极限定理，证明其弱收敛于具有随机方差的高斯解析函数。
• 利用 $ D_n(u) $ 的收敛性，建立随机树中路径长度泛函的条件分布的几乎必然弱收敛。
• 对Yule过程与泊松点过程应用迭代对数律，获得第 $ n $ 个粒子出生时间 $ T_n $ 的精确渐近展开。
• 将归一化路径长度差分解为三项，证明其中两项几乎必然趋于零，而第三项通过功能性中心极限定理收敛。
• 利用乘积概率空间与条件独立性，将条件从 $ \mathcal{F}_{T_n} $ 降低至 $ \mathcal{G}_n $，即树过程的历史。
• 利用命题4.10与命题4.12，将收敛性从乘积空间转移到原始概率空间，实现几乎必然弱收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 Biggins鞅的极限与其有限时间版本之差是否满足功能性中心极限定理？
• RQ2 能否为随机树中路径长度泛函建立条件分布的几乎必然弱收敛？
• RQ3 二叉搜索树外部路径长度的中心极限定理是否在强于弱收敛的收敛意义下成立？
• RQ4 归一化路径长度波动的极限分布是否几乎必然弱收敛于标准正态分布？
• RQ5 能否将分支随机游走的功能性中心极限定理推广，以推导随机递归树的二阶渐近展开？

主要发现

• 过程 $ D_n(u) = m^{n/2} \left( W_\infty(u/\sqrt{n}) - W_n(u/\sqrt{n}) \right) $ 在适当的解析函数空间上弱收敛于具有随机方差的高斯解析函数。
• 对于二叉搜索树，条件分布 $ \mathcal{L}\left\{ \sqrt{\frac{n}{2\log n}} \left( \text{EPL}_\infty - \frac{\text{EPL}_n - 2n\log n}{n} \right) \Big| \mathcal{G}_n \right\} $ 几乎必然弱收敛于标准正态分布。
• 该收敛性强于弱收敛与稳定收敛，确立了在随机树背景下转移核的几乎必然弱收敛。
• 该结果可推广至均匀随机递归树，证明了类似的中心极限定理，且收敛性为几乎必然弱收敛。
• 证明依赖于对 $ T_n $（第 $ n $ 个粒子出生时间）的精确渐近展开，利用泊松过程与Yule过程的迭代对数律。
• 将归一化路径长度差分解为三项，表明其中两项几乎必然趋于零，而第三项通过功能性中心极限定理收敛，从而得出最终的收敛结果。