[论文解读] A functional limit convergence towards brownian excursion

Julien Sohier|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文建立了一个函数极限定理，表明在正态分布吸引域内的随机游走，若条件为保持非负并返回原点附近，则在适当的缩放下，其弱收敛于归一化的布朗桥。收敛性通过有限维分布收敛与紧致性证明，利用更新理论和 h-变换进行条件化。

ABSTRACT

We consider a random walk $S$ in the domain of attraction of a standard normal law $Z$, extit{ie} there exists a positive sequence $a_n$ such that $S_n/a_n$ converges in law towards $Z$. The main result of this note is that the rescaled process $(S_{\lfloor nt floor}/a_n, t \geq 0)$ conditioned to stay non-negative, to start and to come back extit{near the origin} converges in law towards the normalized brownian excursion.

研究动机与目标

• 建立随机游走条件化保持正且返回原点附近的函数极限定理。
• 通过考虑晚期返回的条件化，扩展先前关于收敛至布朗绕行的结论。
• 证明缩放后的条件化过程依分布收敛于归一化的布朗桥。
• 在一般吸引域条件下，使用紧致性与有限维收敛性提供严格证明。

提出的方法

• 利用 h-变换定义随机游走条件化保持非负的分布，基于与下降 ladder 高度相关的更新函数 $ V(x) $。
• 在 $ D([0,1], \mathbb{R}) $ 上使用 Skorokhod 拓扑研究缩放过程的弱收敛性。
• 采用函数中心极限定理框架，将随机游走 $ S_{\lfloor nt \rfloor}/a_n $ 进行缩放，其中 $ a_n $ 满足 $ a_n^2 \sim n \Phi(a_n) $。
• 通过矩界与振荡控制建立紧致性，利用 Iglehart 引理的强化形式处理更新过程。
• 利用渐近等价性 $ \mathbf{P}_{x_n}[\tau_{(-\infty,0)}>n] / \mathbf{P}[T_1^- > n] \sim V(x_n) $，在 $ x_n / a_n \to 0 $ 时一致成立，该结果源自更新理论。
• 结合局部极限定理与 ladder 高度密度的统一估计，验证收敛条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对属于正态分布吸引域的随机游走，若条件化为保持正并返回原点附近，是否收敛于布朗桥？
• RQ2 该收敛是否可在函数意义下成立，即在 $ D([0,1], \mathbb{R}) $ 上的 Skorokhod 拓扑下成立？
• RQ3 初始与末位置 $ x_n, y_n $ 需满足何种条件，才能确保收敛于布朗桥？
• RQ4 ladder 过程的更新结构如何影响条件化游走的渐近行为？

主要发现

• 缩放过程 $ (S_{\lfloor nt \rfloor}^*)/a_n $，在条件为从 $ x_n $ 出发、在 $ y_n $ 结束且保持非负时，当 $ n \to \infty $，依分布收敛于归一化的布朗桥。
• 当 $ x_n / a_n \to 0 $ 且 $ y_n / a_n \to 0 $ 时，收敛性成立，确保初始与末位置相对于缩放尺度趋于零。
• 证明建立了有限维收敛性与紧致性，后者依赖于振荡的指数尾部界。
• 渐近等价性 $ \mathbf{P}_{x_n}[\tau_{(-\infty,0)}>n] / \mathbf{P}[T_1^- > n] \sim V(x_n) $ 在 $ x_n / a_n \to 0 $ 时一致成立，这对 h-变换近似至关重要。
• 该结果通过考虑更强的条件化（晚期返回）扩展了先前关于收敛至布朗绕行的工作，从而导致布朗桥极限。