[论文解读] A functional limit theorem for limit order books

Christian Bayer, Ulrich Horst+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文在高频缩放下建立了限价订单簿（LOB）的函数极限定理，表明当订单到达率增加且单个订单影响缩小，最优买价/卖价与买卖盘挂单量密度的联合动态收敛于由反射布朗运动和两个耦合的线性随机偏微分方程（SPDEs）驱动的系统。其主要贡献在于提出了一套具有严格数学依据的连续时间极限模型，能够捕捉LOB动态的微观结构特征。

ABSTRACT

We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges to a continuous-time limit when the order arrival rates tend to infinity, the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tend to zero. The limits of the standing buy and sell volume densities are described by two linear stochastic partial differential equations, which are coupled with a two-dimensional reflected Brownian motion that is the limit of the best bid and ask price processes.

研究动机与目标

• 使用随机框架对限价订单簿（LOB）中最佳买价与卖价及挂单量密度的联合动态进行建模。
• 研究当订单到达率趋于无穷大且单个订单影响趋近于零时LOB的渐近行为。
• 推导LOB的连续时间极限，以捕捉价格变动与挂单量密度演化的双重特征。
• 在离散高频LOB动态与连续SPDE系统之间建立严格的数学联系。
• 将LOB的极限行为表征为由反射布朗运动驱动的耦合SPDE系统。

提出的方法

• 将LOB形式化为具有离散价格层级及买卖单挂单量密度的随机过程。
• 引入一个缩放框架，其中订单到达强度趋于无穷大，最小价格变动单位（tick size）趋于零，且单个订单影响逐渐减小。
• 应用函数中心极限定理技术，推导缩放后LOB过程的弱收敛性。
• 证明最佳买价与卖价过程的极限为二维反射布朗运动。
• 推导挂单量密度过程的极限，其解为由反射布朗运动驱动的两个线性SPDE。
• 建立SPDE与反射布朗运动之间的耦合关系，以描述完整的联合极限动态。

实验结果

研究问题

• RQ1 当订单到达率趋于无穷大且单个订单影响消失时，限价订单簿的连续时间极限是什么？
• RQ2 在极限下，挂单的买盘与卖盘量密度如何演化？其动态由何种类型的随机方程支配？
• RQ3 在高频缩放下，最佳买价与卖价过程的极限行为如何？
• RQ4 在极限下，价格过程与挂单量密度过程如何耦合？
• RQ5 在连续极限下，LOB的联合动态能否由SPDE系统与反射扩散过程共同描述？

主要发现

• 最佳买价与卖价过程的极限为二维反射布朗运动，能够捕捉订单簿的价格韧性与边界行为特征。
• 挂单买盘与卖盘量密度过程收敛于两个线性随机偏微分方程（SPDE）的解。
• SPDE由同一二维反射布朗运动驱动，该过程控制价格动态，从而建立起耦合的极限系统。
• 该收敛性在特定缩放框架下成立：订单到达率趋于无穷大，tick size趋于零，且单个订单影响消失。
• 极限模型提供了LOB的连续时间近似，同时保留了价格影响与挂单量韧性等关键微观结构特征。
• 函数极限定理严格证明了SPDE与反射扩散过程作为高频频 LOB 动态的可处理且现实的模型的合理性。