[论文解读] A Functional Limit Theorem for Limit Order Books with State Dependent Price Dynamics
本文建立了具有状态依赖价格动态的限价订单簿的功能极限定理，表明当订单到达率增加且单个订单影响缩小，最优买价/卖价与买卖盘量密度的联合动态会收敛到一个耦合的随机微分方程（SDE）与随机偏微分方程（SPDE）系统。关键贡献在于，通过严格的比例极限，捕捉了在连续时间、无限维框架下挂单量对价格变动的反馈效应。
We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). Our model is flexible enough to allow for a dependence of the price dynamics on volumes. For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges in distribution to a fully coupled SDE-SPDE system when the order arrival rates tend to infinity and the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tends to zero. The SDE describes the bid/ask price dynamics while the SPDE describes the volume dynamics.
研究动机与目标
- 开发一个概率框架，用于在状态依赖价格影响下，对限价订单簿价格与成交量的联合动态进行建模。
- 为包含价格与成交量动态的完整限价订单簿建立一个功能中心极限定理。
- 通过引入依赖于成交量的价格动态，扩展现有比例极限，这些动态在实证中被观察到，但常被先前模型忽略。
- 在重交通比例极限下，严格证明分布收敛到一个完全耦合的SDE-SPDE系统。
- 为包含订单簿状态对价格形成反馈的市场微观结构建模，提供数学上严谨的基础。
提出的方法
- 将限价订单簿建模为连续时间、无限维系统，其中订单到达与撤单服从泊松过程，且依赖于当前最优买价与卖价。
- 采用重交通比例极限，其中订单到达率趋于无穷，单个订单影响与最小变动价位趋于零。
- 使用Mitoma定理及分布空间中的紧致性准则，建立比例过程的弱收敛。
- 将极限动态表征为一个耦合系统：SDE描述最优买价与卖价，SPDE描述成交量密度函数。
- 采用时间变换的弱收敛方法及Skorokhod引理，处理具有随机时间变换的过程的收敛性。
- 利用概率论中的功能极限定理技术，从分布意义下推导价格与成交量过程的联合收敛。
实验结果
研究问题
- RQ1当价格形成依赖于挂单量时，在重交通比例极限下，限价订单簿中价格与成交量的联合动态行为如何？
- RQ2能否为具有状态依赖价格动态的双边限价订单簿建立一个功能极限定理，而非假设价格过程为常数或外生？
- RQ3描述比例极限订单簿过程收敛的极限系统是什么？其数学表征如何？
- RQ4成交量密度对价格动态的反馈效应是否在扩散极限中得以保留？如果是，其在极限系统中如何编码？
- RQ5在何种条件下，比例限价订单簿过程序列在分布上收敛到一个耦合的SDE-SPDE系统？
主要发现
- 最优买价与卖价的联合动态及成交量密度函数在分布上收敛到一个完全耦合的随机微分方程（SDE）与随机偏微分方程（SPDE）系统。
- 极限价格过程由一个SDE控制，其漂移与扩散系数依赖于当前成交量密度，从而捕捉了状态依赖的价格影响。
- 成交量动态由一个SPDE描述，其在连续时间中演化，并由与订单流相同的底层泊松过程驱动。
- 收敛性在重交通比例极限下建立，其中单个订单影响与最小变动价位趋于零，而订单到达率趋于无穷。
- 极限系统在分布空间中定义良好，且通过Mitoma定理与C-紧致性准则等泛函分析工具证明了紧致性。
- 该结果通过引入订单簿状态对价格动态的反馈，推广了先前的比例极限，与成交量不平衡效应的实证观察一致。
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