[论文解读] A Garside presentation for Artin-Tits groups of type $ ilde C_n$

François Digne|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过将 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群实现为 $\tilde{A}_{2n-1}$ 型 Artin-Tits 群下某个对合作用下的不动点群，建立了该类群的 Garside 结构，并利用“生成群”方法构造了一个 Garside 半群。关键结果包括一个对偶表示和 word problem 的解法，以及对 Coxeter 元素幂的中心化子的应用。

ABSTRACT

We prove that an Artin-Tits group of type $ ilde C$ is the group of fractions of a Garside monoid, analogous to the known dual monoids associated with Artin-Tits groups of spherical type and obtained by the "generated group" method. This answers, in this particular case, a general question on Artin-Tits groups, gives a new presentation of an Artin-Tits group of type $ ilde C$, and has consequences for the word problem, the computation of some centralizers or the triviality of the center. A key point of the proof is to show that this group is a group of fixed points in an Artin-Tits group of type $ ilde A$ under an involution. Another important point is the study of the Hurwitz action of the usual braid group on the decomposition of a Coxeter element into a product of reflections.

研究动机与目标

• 建立 $\tilde{C}_n$ 型仿射 Artin-Tits 群的 Garside 结构，该问题在大多数非 $\tilde{A}$ 型仿射类型中仍为开放问题。
• 利用来自 Garside 结构的规范形，解决 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群的 word problem。
• 计算 $\tilde{C}_n$ 中 Coxeter 元素幂的中心化子，扩展了对球面型与 $\tilde{A}$ 型已知结果的应用。
• 为 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群提供一个类似于球面型与 $\tilde{A}$ 型中已知的对偶表示。
• 确认在 $W(\tilde{C}_n)$ 中，Coxeter 元素的最短反射分解上 Hurwitz 作用的传递性。

提出的方法

• 将 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群实现为 $\tilde{A}_{2n-1}$ 型 Artin-Tits 群下某个对合作用的不动点群，利用 $\tilde{A}$ 型中已知的 Garside 结构。
• 从 $\tilde{A}_{2n-1}$ 中一个在对合下稳定的非 Garside 半群的不动点构造一个 Garside 半群。
• 使用 [2, 0.4] 中的“生成群”方法，证明不动点半群是一个具有明确定义的 Garside 元素的 Garside 半群。
• 应用在保持 Garside 元素的自同构下 Garside 半群不动点的理论，继承 Garside 结构。
• 利用 Coxeter 元素的反射分解上的 Hurwitz 作用证明其传递性，该性质是半群构造的基础。
• 通过建立不动点半群与 $C_{\text{gcd}(h,n)}$ 型 Artin-Tits 群的对偶胚之间的双射，计算中心化子。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在大多数非 $\tilde{A}$ 型仿射类型中缺乏此类结构，是否能为 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群构造一个对偶 Garside 结构？
• RQ2 在 $W(\tilde{C}_n)$ 中，Coxeter 元素的最短反射分解上 Hurwitz 作用是否具有传递性，如同在其他 Coxeter 群中一样？
• RQ3 当对合保持 Garside 元素时，$\tilde{A}_{2n-1}$ 型 Garside 群下不动点群是否继承 Garside 结构？
• RQ4 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群中 Coxeter 元素幂的中心化子结构是什么？
• RQ5 能否通过合适的反射胚，利用“生成群”方法实现 $\tilde{C}_n$ 型的 Garside 半群？

主要发现

• $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群具有 Garside 结构，其 Garside 半群被构造为 $\tilde{A}_{2n-1}$ 中某个对合作用下不动点的半群。
• 在 $W(\tilde{C}_n)$ 中，Coxeter 元素的最短反射分解上 Hurwitz 作用是传递的，这是一个关键的技术结果。
• 所构造的 Garside 半群的分式群同构于 $\tilde{C}_n$ 型 Artin-Tits 群，从而提供了其对偶表示。
• $G(\tilde{C}_n)$ 中 ${\bf c}^h$ 的中心化子同构于 $C_{\text{gcd}(h,n)}$ 型 Artin-Tits 群，扩展了对球面型已知结果的应用。
• Garside 半群结构提供了规范形，并通过 Garside 元素与可除性格解决 $G(\tilde{C}_n)$ 的 word problem。
• 中心化子的计算依赖于 ${\bf c}^h$ 的中心化子等于 ${\bf c}^{\text{gcd}(n,h)}$ 的中心化子这一事实，从而将问题约化到 $h$ 整除 $n$ 的情形。