[论文解读] A gauge model with spinor group for a description of local interaction of a fermion with electromagnetic and gravitational fields

Н. Г. Марчук|ArXiv.org|Dec 6, 1999

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种规范场论，利用旋量群统一描述费米子与电磁场和引力场的局域相互作用。通过将类似狄拉克方程的场方程与通过旋量联络耦合的规范场相结合，该模型从一个拉格朗日量推导出运动方程，并在旋量等距流形上通过双代数结构在外代数上建立起曲率张量与场强之间的几何联系，实现了坐标协变性。

ABSTRACT

We suggest model equations, which, from some point of view, describe local interaction of three physical fields: a field of matter, an electromagnetic field and a gravitational field. A base of the model is a field of matter described by the wave function of fermion satisfying the equation similar to Dirac equation for electron. Electromagnetic and gravitational fields appear as the gauge fields for this equation. We have found the connection between these fields and the curvature tensor of Riemannian manifold. We present a main Lagrangian from which the equations of the model are deduced. The covariance of the model equations under changes of coordinates is considered. We develop mathematical techniques needed for the model connected with an exterior algebra of Euclidean or Riemannian space. The exterior algebra is considered as a bialgebra with two operations of multiplications -- an exterior multiplication and Clifford multiplication. We define a structure of Euclidean or Riemannian space on the exterior algebra, which leads to the notions of Spin-isometric change of coordinates and Spin-isometric manifold used in the model.In the revised paper we correct an error with the formula $G_{ij}=-U^{-1}D_{ij}U/2$, (now U=1).

研究动机与目标

• 开发一种基于旋量群作为规范群的统一规范场论描述，以描述费米子与电磁场和引力场的相互作用。
• 从包含规范自由度和引力自由度的基本拉格朗日量中推导出场方程。
• 在黎曼流形的曲率张量与规范场（电磁场和引力场）的场强之间建立几何联系。
• 确保模型在旋量等距坐标变换下的协变性，推广标准的微分同胚不变性。
• 通过外代数上的双代数结构（外积与克利福德积）形式化数学框架，实现自洽的几何表述。

提出的方法

• 该模型建立在黎曼时空中的旋量场满足类似狄拉克方程的基础上，其局域对称性由旋量群（Spin群）生成。
• 电磁场和引力场作为与旋量联络相关的规范势出现，其曲率张量由这些联络的场强导出。
• 构建一个主拉格朗日量，其中包含费米子的动能项、规范场的动能项以及耦合项，场方程由此通过变分导数获得。
• 通过外积与克利福德积两种乘法，赋予黎曼空间的外代数双代数结构，从而实现对旋量场和规范势在弯曲时空中的自洽代数处理。
• 通过定义保持旋量结构的坐标变换，强制实现对旋量等距变换的协变性，推广标准张量协变性。
• 该模型采用修正后的曲率联络公式，现为U=1，解决了先前场强表达式中的不一致问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 旋量群如何被用作规范群来描述费米子与电磁场和引力场的相互作用？
• RQ2 在该模型中，黎曼流形的曲率张量与电磁场和引力场的规范场强之间存在何种几何关系？
• RQ3 如何构建一个自洽的拉格朗日量表述，以统一费米子动力学与规范场和引力场？
• RQ4 外代数的双代数结构（包含外积与克利福德积）在实现模型数学一致性方面起到何种作用？
• RQ5 场方程在旋量等距变换下的协变性如何保持？这与标准微分同胚不变性有何不同？

主要发现

• 该模型成功地从单一协变拉格朗日量中推导出场方程，通过旋量联络将费米子动力学与电磁场和引力场的相互作用统一起来。
• 证明了黎曼流形的曲率张量与电磁场和引力场的规范场强之间存在直接关联。
• 修正后的场强公式现为U=1，解决了先前表达式G_{ij} = -U^{-1}D_{ij}U/2中的不一致问题，恢复了曲率-联络关系的一致性。
• 在外代数上使用双代数结构（结合外积与克利福德积）为处理弯曲时空中的旋量场和规范势提供了必要的数学框架。
• 引入了旋量等距流形作为新的几何结构，推广了坐标协变性，确保了对旋量群变换的不变性。
• 该模型在保持旋量结构的坐标变换下实现了完全的协变性，扩展了广义相对论和规范场论的标准框架。