[论文解读] A Gauge-theoretical Treatment of the Gravitational Field: Kinematical

Henrique Gomes|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文将广义相对论表述为在3-流形上的黎曼度量空间上的规范理论，使用微分同胚群和共形微分同胚群作为规范对称性。它构造了由超度量诱导的显式规范连接，表明共形对称性可解决标准微分同胚群中的病态问题，并与形状动力学和霍拉瓦引力理论相一致。

ABSTRACT

In the geometrodynamical setting of general relativity in Lagrangian form, the objects of study are the {\it Riemannian} metrics (and their time derivatives) over a given 3-manifold $M$. It is our aim in this paper to study the gauge properties that the space Riem(M) of all metrics over $M$ possesses, specially as they relate to the constraints of geometrodynamics. For instance, the Hamiltonian constraint does not generate a group, and it is thus hard to view its action in Riem(M) in a gauge setting. However, in view of the recent results representing GR as a dual theory, invariant under foliation preserving 3--diffeomorphisms and 3D conformal transformations, but not under refoliations, we are justified in considering the gauge structure pertaining only to the groups $\mathcal{D}$ of diffeomorphisms of $M$, and $\mathcal{C}$, of conformal diffeomorphisms on $M$. For these infinite-dimensional symmetry groups, Riem(M) has a natural principal fiber bundle (PFB) structure, which renders the gravitational field amenable to the full range of gauge-theoretic treatment. We discuss some of these structures and construct explicit formulae for supermetric-induced gauge connections. To apply the formalism, we compute general properties for a specific connection bearing strong resemblance to the one naturally induced by the deWitt supermetric, showing it has desirable relationalist properties. Finally, we find that the group of conformal diffeomorphisms solves the pathologies inherent in the $\DD$ group and also brings it closer to Horava gravity and the dual conformal theory called Shape Dynamics.

研究动机与目标

• 将广义相对论重新表述为在3-流形上黎曼度量空间上的规范理论。
• 通过聚焦于保持叶状结构的微分同胚和共形微分同胚，解决哈密顿约束缺乏群结构的问题。
• 利用3-微分同胚群和共形微分同胚群，在度量空间上建立主纤维丛结构。
• 构造由德威特超度量诱导的显式规范连接，具有关系主义性质。
• 表明共形微分同胚可解决标准微分同胚群中的病态问题，并与形状动力学等对偶理论保持一致。

提出的方法

• 采用广义相对论的几何动力学形式，以拉格朗日形式聚焦于Riem(M)，即3-流形M上黎曼度量的空间。
• 将无穷维群D（微分同胚）和C（共形微分同胚）识别为引力场的相关规范对称性。
• 在Riem(M)上建立主纤维丛（PFB）结构，其基空间为D和C作用下的等价类，从而实现完整的规范场论处理。
• 推导由德威特超度量诱导的规范连接的显式公式，该超度量控制引力相空间的动力学结构。
• 分析所构造连接的几何与物理性质，强调其关系主义和共形不变特性。
• 将所得规范结构与霍拉瓦引力及形状动力学中的结构进行比较，突出其一致性及对先前病态问题的解决。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论中的引力场如何能在黎曼度量空间上被一致地表述为规范理论？
• RQ2 在规范场论框架中，哈密顿约束的作用是什么？为何它无法生成群作用？
• RQ3 度量空间Riem(M)能否在微分同胚与共形微分同胚联合作用下赋予主纤维丛结构？
• RQ4 由德威特超度量诱导的规范连接具有哪些显式性质？它是否表现出关系主义行为？
• RQ5 共形微分同胚的引入如何解决标准微分同胚群中的病态问题，并与形状动力学等对偶引力理论相关联？

主要发现

• 在微分同胚群D与共形微分同胚群C的作用下，黎曼度量空间Riem(M)自然具备主纤维丛结构。
• 德威特超度量在Riem(M)上诱导的规范连接表现出强烈的關係主義性質，與背景獨立物理一致。
• 共形微分同胚群C解决了标准D群中固有的病态问题，特别是在约束代数与规范流方面。
• 所构造的规范连接与由德威特超度量自然导出的连接极为相似，验证了其物理相关性。
• 引入共形对称性使该形式体系更接近形状动力学与霍拉瓦引力理论，暗示存在更深层次的统一潜力。
• 该规范场论框架为引力的运动学结构提供了连贯且几何自然的处理方式，尤其在广义相对论的对偶表述背景下。