[论文解读] A general construction of Weil functors

Wolfgang Bertram, Arnaud Souvay|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 10

一句话总结

本文为任意拓扑基环 $\mathbb{K}$ 上的任意 Weil 代数 $\mathbb{A} = \mathbb{K} \oplus \mathcal{N}$ 构造了一般的 Weil 赋函子 $T^\mathbb{A}$，将代数几何中的标量扩张技术推广至微分几何。关键结果是 $T^\mathbb{A}M$ 是 $\mathbb{A}$ 上的光滑流形，函子性成立，关于 $M$ 是多项式纤维丛，且通过 $V_\mathbb{A} = V \otimes_\mathbb{K} \mathbb{A}$ 与标量扩张兼容，从而统一了切丛与喷射丛的构造。

ABSTRACT

We construct the Weil functor $T^A$ corresponding to a general Weil algebra $A = K \oplus N$: this is a functor from the category of manifolds over a general topological base field or ring $K$ (of arbitrary characteristic) to the category of manifolds over $A$. This result simultaneously generalizes results known for ordinary, real manifolds, and previous results by the first author for the case of the higher order tangent functors ($A = T^k K$) and for the case of jet rings ($A = K[X]/(X^{k+1})$). We investigate some algebraic aspects of these general Weil functors ("K-theory of Weil functors", action of the "Galois group" $\Aut_K(A)$), which will be of importance for subsequent applications to general differential geometry.

研究动机与目标

• 将 Weil 赋函子推广至任意有限维 Weil 代数（包括正特征与非域基环）的通用拓扑基环 $\mathbb{K}$ 上。
• 通过标量扩张统一高阶切丛与喷射环的构造，建立统一框架。
• 在 $T^\mathbb{A}M$ 上建立函子性、多项式丛结构，使其与光滑映射及笛卡尔积兼容。
• 通过 Weil 赋函子框架将代数工具（如 $K$-理论与伽罗瓦群作用）引入微分几何。

提出的方法

• 将 Weil $\mathbb{K}$-代数定义为 $\mathbb{A} = \mathbb{K} \oplus \mathcal{N}$，其中 $\mathcal{N}$ 是有限维、自由、幂零的 $\mathbb{K}$-模。
• 通过在纤维坐标上为多项式的局部坐标图，将 $T^\mathbb{A}M$ 构造为 $\mathbb{A}$ 上的光滑流形。
• 利用标量扩张 $V_\mathbb{A^} = V \otimes_\mathbb{K} \mathbb{A}$ 来识别开子流形 $U \subset V$ 的 $T^\mathbb{A}U$，其中 $V$ 是一个拓扑 $\mathbb{K}$-模。
• 证明在多项式映射下，$T^\mathbb{A}f$ 在 $T^\mathbb{A}M$ 上的诱导映射与代数标量扩张 $f_\mathbb{A}$ 一致。
• 利用张量积的普遍性质与多重线性映射的连续性，建立函子性与与积的兼容性。
• 将 $M_\mathbb{A} := T^\mathbb{A}M$ 定义为 $M$ 的标量扩张，推广了 $TM$ 在对偶数代数下的角色。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为任意基环上的任意 Weil 代数构造 Weil 赋函子，包括正特征与非域基环？
• RQ2 Weil 赋函子 $T^\mathbb{A}$ 在微分几何中如何推广经典切丛与喷射丛？
• RQ3 代数几何中的标量扩张构造在任意拓扑环上光滑流形的语境中如何体现？
• RQ4 从 $T^\mathbb{A}$ 的函子性质中会涌现出哪些代数结构（如 $K$-理论与伽罗瓦作用）？
• RQ5 Weil 赋函子 $T^\mathbb{A}$ 是否能通过其函子性、多项式性与标量扩张性质唯一刻画？

主要发现

• Weil 赋函子 $T^\mathbb{A}$ 由其函子性、与积的兼容性以及在 $M$ 上的多项式纤维丛结构唯一确定。
• 对任意开子流形 $U \subset V$，$T^\mathbb{A}U$ 自然地等同于 $V_\mathbb{A} \to V$ 的典范映射下的 $U$ 的原像，其中 $V_\mathbb{A} = V \otimes_\mathbb{K} \mathbb{A}$。
• 对多项式映射 $f: U \to W$，诱导映射 $T^\mathbb{A}f$ 与代数标量扩张 $f_\mathbb{A}: V_\mathbb{A} \to W_\mathbb{A}$ 一致，确保与代数几何的一致性。
• 该构造赋予 $T^\mathbb{A}M$ 一个关于 $M$ 的多项式丛结构，其中过渡函数在纤维坐标上为多项式。
• Weil 赋函子 $T^\mathbb{A}$ 推广了经典构造：当 $\mathbb{A} = \mathbb{K} \oplus \varepsilon\mathbb{K}$ 且 $\varepsilon^2 = 0$ 时，$T^\mathbb{A}M$ 退化为切丛；当 $\mathbb{A} = \mathbb{K}[X]/(X^{k+1})$ 时，退化为喷射丛。
• 连续多项式映射 $p$ 的标量扩张 $p_\mathbb{A}$ 是连续的且关于 $\mathbb{A}$ 为多项式，其分量 $M^\boldsymbol{\alpha}$ 由于张量积与多重线性映射的普遍性质而连续。