[论文解读] A general continuous-state nonlinear branching process

Pei-Sen Li, Yang Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文提出了一类由随机微分方程驱动的一般连续状态非线性分支过程，其分支率和竞争作用依赖于种群规模，利用鞅技巧建立了灭绝、爆炸及从无穷大回归的精确条件。主要贡献在于提出一个Foster-Lyapunov准则，并在分支函数为幂函数时获得明确结果。

ABSTRACT

In this paper we consider the unique nonnegative solution to the following generalized version of the stochastic differential equation for a continuous-state branching process. \beqnn X_t \ar=\ar x+\int_0^tγ_0(X_s)\dd s+\int_0^t\int_0^{γ_1(X_{s-})} W(\dd s,\dd u)\cr \ar\ar\qquad+\int_0^t\int_{0}^\infty\int_0^{γ_2(X_{s-})} z ilde{N}(\dd s, \dd z, \dd u), \eeqnn where $W(\dd t,\dd u) $ and $ ilde{N}(\dd s, \dd z, \dd u)$ denote a Gaussian white noise and an independent compensated spectrally positive Poisson random measure, respectively, and $γ_0,γ_1$ and $γ_2$ are functions on $\mbb{R}_+$ with both $γ_1$ and $γ_2$ taking nonnegative values. Intuitively, this process can be identified as a continuous-state branching process with population-size-dependent branching rates and with competition. Using martingale techniques we find rather sharp conditions on extinction, explosion and coming down from infinity behaviors of the process. Some Foster-Lyapunov type criteria are also developed for such a process. More explicit results are obtained when $γ_i, i=0, 1, 2$ are power functions.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有非线性、种群规模依赖分支机制及竞争作用的连续状态分支过程的一般框架。
• 利用随机分析方法研究此类过程的长期行为——灭绝、爆炸及从无穷大回归。
• 通过鞅技巧和Foster-Lyapunov准则推导这些行为的充分条件。
• 当分支函数为幂函数时，提供明确结果，以实现对过程动态的定量分析。

提出的方法

• 通过维纳过程和补偿的右连续纯跃过程（spectrally positive Poisson random measure）构建该过程的随机微分方程（SDE）。
• 通过路径唯一非负解定义该过程，其漂移、扩散和跳跃项均依赖于当前种群规模。
• 应用鞅技巧分析样本路径行为，特别利用生成元和局部时分析。
• 通过构造包含 $ x^{1-a} $ 和对数项的合适Lyapunov函数，推导出适用于遍历性和常返性的Foster-Lyapunov型准则。
• 利用耦合和强马氏性质论证估计从大区间退出的概率，并控制达到低水平的时间。
• 采用对数尺度和幂函数尺度变换分析极端状态下的行为，尤其关注从无穷大回归的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有竞争作用和种群规模依赖分支率的非线性连续状态分支过程几乎必然灭绝？
• RQ2 该过程在有限时间内爆炸的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在什么情况下过程会从无穷大回归，即从无穷大出发在有限时间内达到有限值？
• RQ4 分支率函数 $ \gamma_0, \gamma_1, \gamma_2 $ 的函数形式如何影响过程的长期行为？
• RQ5 能否为这类非线性过程建立Foster-Lyapunov准则，以保证常返性或遍历性？

主要发现

• 当分支率函数满足 $ \gamma_2(x) \sim x^\alpha $ 且 $ \alpha > 1 $，且生成元中对数项的增长受到控制时，过程几乎必然从无穷大回归。
• 对于幂函数形式 $ \gamma_i(x) = c_i x^{\alpha_i} $，本文推导出 $ \alpha_i $ 的显式条件，以判断灭绝、爆炸及从无穷大回归。
• 当漂移和跳跃项满足某种涉及 $ \psi(\lambda) $ 的积分检验时，过程表现出几乎必然灭绝，该结果扩展了经典Grey条件。
• 当漂移和扩散项随 $ x $ 的增长超过线性速度时，爆炸发生，具体而言，当 $ \gamma_0(x) $ 和 $ \gamma_1(x) $ 在某些可积性条件下增长快于线性时。
• 通过Lyapunov函数 $ V(x) = x^{1-a} $（其中 $ a \in (0,1) $）建立Foster-Lyapunov准则，且当生成元条件 $ \mathcal{L}V(x) \leq -c $ 对大 $ x $ 成立时，可保证常返性。
• 对于大初始值，过程以高概率在有限时间内达到任意固定水平 $ b > 0 $，且达到时间被控制在 $ (1+\delta)^r (\ln x)^{1-r} $ 范围内，当 $ r > 1 $ 时该值为有限。