[论文解读] A General Formulation for the Stiffness Matrix of Parallel Mechanisms
本文提出了一种适用于并联机构的笛卡尔刚度矩阵（CSM）的通用公式，该公式考虑了驱动关节和被动关节的刚度、额外的关节与连杆柔顺性以及大位移情况。该方法基于势能和黑塞矩阵推导，生成的 CSM 具有对称性、正定性且满足能量守恒，适用于平面与空间机构，数值验证表明其在高外部载荷下的精度优于现有模型（如 Salisbury 的模型）。
Starting from the definition of a stiffness matrix, the authors present a new formulation of the Cartesian stiffness matrix of parallel mechanisms. The proposed formulation is more general than any other stiffness matrix found in the literature since it can take into account the stiffness of the passive joints, it can consider additional compliances in the joints or in the links and it remains valid for large displacements. Then, the validity, the conservative property, the positive definiteness and the relation with other formulations of stiffness matrices are discussed theoretically. Finally, a numerical example is given in order to illustrate the correctness of this matrix.
研究动机与目标
- 开发一种刚度矩阵公式，通过引入被动关节刚度以及关节和连杆中的附加柔顺性，推广现有模型。
- 确保在大位移和非恒定雅可比矩阵条件下，刚度矩阵依然有效。
- 建立所提矩阵的理论性质，如对称性、正定性和保守性。
- 通过与 MSC Adams 等成熟仿真工具对比，对公式进行数值验证，并与 Salisbury 等现有模型进行比较。
- 展示被动关节柔顺性在外部载荷下对机构行为的实际影响。
提出的方法
- 从与外部 wrench 相关的势能的黑塞矩阵推导广义刚度矩阵（GSM）。
- 采用显式包含具有非零刚度的被动关节的运动学模型，从而实现对关节和连杆柔顺性的建模。
- 应用势能的黑塞矩阵定义笛卡尔刚度矩阵（CSM），在稳定平衡状态下保证对称性和正定性。
- 提出一种广义公式，即使在雅可比矩阵非恒定或外部载荷非零时仍保持有效。
- 通过数值仿真验证公式，将结果与 MSC Adams 及现有模型（如 Salisbury 的模型）进行对比。
- 采用螺旋理论和虚拟关节建模方法表示柔性被动关节，实现对刚度的精确表示。
实验结果
研究问题
- RQ1能否开发一种刚度矩阵公式，以同时考虑被动关节的非零刚度以及关节和连杆中的附加柔顺性？
- RQ2如何在大位移和非恒定雅可比矩阵条件下，使刚度矩阵保持有效且具有保守性？
- RQ3被动关节柔顺性对在外部载荷下末端执行器位姿的影响是什么？
- RQ4在不同外部载荷下，所提出的 CSM 与现有模型（如 Salisbury 的模型）相比，其精度如何？
- RQ5所提出的公式能否确保柔性机构中刚度矩阵的正定性和对称性？
主要发现
- 所提出的刚度矩阵具有对称性、正定性且满足保守性，满足稳定机械系统所需的理论条件。
- 数值结果表明，所提出的 CSM 在 250 次迭代后与 MSC Adams 仿真结果的偏差最大仅为 0.5 μm（位置）和 2.1×10⁻³ rad（姿态）。
- Salisbury 的矩阵在外部载荷增加时表现出显著的误差增长，相同条件下最大偏差达 3 μm（位置）和 1.2×10⁻² rad（姿态）。
- 被动关节刚度直接影响机构的柔顺性：当被动关节刚度从 0 增加到 100 N·rad⁻¹ 时，外部 wrench 作用下的位移幅值显著降低。
- 即使被动关节刚度仅为驱动器刚度的 1/20，模型仍保持高精度，表明在极端情况下的鲁棒性。
- 该公式使柔性并联操作臂的精确控制成为可能，其精度不再依赖于机械刚度。
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