[论文解读] A General Framework for Computing the Nucleolus Via Dynamic Programming

Jochen Koenemann, Justin Toth|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用的动态规划框架，可高效计算合作博弈中的核仁，表明若最小超额联盟问题可通过整数动态规划求解，则核仁可在多项式时间内计算。关键贡献是为有界树宽图上的b-匹配博弈提出了一种多项式时间算法来计算核仁，将先前工作从加权投票博弈扩展至更广泛的组合优化博弈类别。

ABSTRACT

This paper defines a general class of cooperative games for which the nucleolus is efficiently computable. This class includes new members for which the complexity of computing their nucleolus was not previously known. We show that when the minimum excess coalition problem of a cooperative game can be formulated as a hypergraph dynamic program its nucleolus is efficiently computable. This gives a general technique for designing efficient algorithms for computing the nucleolus of a cooperative game. This technique is inspired by a recent result of Pashkovich (2018) on weighted voting games. However our technique significantly extends beyond the capabilities of previous work. We demonstrate this by applying it to give an algorithm for computing the nucleolus of b-matching games in polynomial time on graphs of bounded treewidth.

研究动机与目标

• 开发一种使用动态规划计算合作博弈核仁的通用框架。
• 将先前关于加权投票博弈的研究结果推广至更广泛的组合优化博弈类别。
• 确立在具有同余约束的动态规划中核仁可高效计算的条件。
• 展示该框架在有界树宽图上b-匹配博弈中的适用性。
• 形式化基于有向无环超图的动态规划，以支持同余约束优化。

提出的方法

• 使用有向无环超图形式化动态规划，以建模可行解与约束。
• 提出一种技术，仅以多项式时间增长为代价，将同余约束融入动态规划。
• 证明在基于超图的动态规划中添加同余约束，最多仅使复杂度增加多项式因子。
• 将核仁计算归约为通过动态规划求解最小超额联盟问题。
• 为有界树宽图上b-匹配博弈的最小超额联盟构建动态规划公式。
• 应用通用框架，证明此类博弈的核仁可在多项式时间内计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，合作博弈的核仁可被多项式时间计算？
• RQ2 能否将加权投票博弈的动态规划方法推广至其他类别的合作博弈？
• RQ3 在合作博弈解概念的背景下，为动态规划添加同余约束的计算影响是什么？
• RQ4 有界树宽图上b-匹配博弈的核仁是否可在多项式时间内计算？
• RQ5 基于超图的动态规划模型能否支持b-匹配博弈中此类复杂约束？

主要发现

• 若最小超额联盟问题可通过整数动态规划求解，则任意合作博弈的核仁都可在多项式时间内计算。
• 在有向无环超图上的动态规划中添加同余约束，仅使计算复杂度增加多项式因子。
• 有界树宽图上b-匹配博弈的核仁可在多项式时间内计算。
• 该框架推广并显著扩展了Pashkovich关于加权投票博弈的先前工作。
• 成功利用带同余约束的基于超图的动态规划，构建了b-匹配博弈中最小超额联盟的动态规划公式。
• 该框架提供了一种新的、系统化的方法，基于树宽等结构属性识别合作博弈的可 tractable 类别。