[论文解读] A general framework for secondary constructions of bent and plateaued functions

Samir Hodžić, Enes Pašalić+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种利用复合表示的通用框架，用于二次构造弯布尔函数和平台布尔函数——即通过将函数表示为布尔函数与向量函数的复合形式。借助该结构，作者统一并扩展了现有方法，如间接和与Rothaus构造，实现了无需对初始函数施加限制条件的新颖、高效构造，并解决了该领域中的开放问题。

ABSTRACT

In this work, we employ the concept of {\em composite representation} of Boolean functions, which represents an arbitrary Boolean function as a composition of one Boolean function and one vectorial function, for the purpose of specifying new secondary constructions of bent/plateaued functions. This representation gives a better understanding of the existing secondary constructions and it also allows us to provide a general construction framework of these objects. This framework essentially gives rise to an {\em infinite number} of possibilities to specify such secondary construction methods (with some induced sufficient conditions imposed on initial functions) and in particular we solve several open problems in this context. We provide several explicit methods for specifying new classes of bent/plateaued functions and demonstrate through examples that the imposed initial conditions can be easily satisfied. Our approach is especially efficient when defining new bent/plateaued functions on larger variable spaces than initial functions. For instance, it is shown that the indirect sum methods and Rothaus' construction are just special cases of this general framework and some explicit extensions of these methods are given. In particular, similarly to the basic indirect sum method of Carlet, we show that it is possible to derive (many) secondary constructions of bent functions without any additional condition on initial functions apart from the requirement that these are bent functions. In another direction, a few construction methods that generalize the secondary constructions which do not extend the variable space of the employed initial functions are also proposed.

研究动机与目标

• 开发一个统一的、通用的弯布尔函数和平台布尔函数二次构造框架。
• 解决二次构造中的开放问题，特别是针对初始函数无限制或最小限制条件的情况。
• 证明现有构造方法如间接和与Rothaus方法是所提框架的特例。
• 在相同或更大的变量空间上，通过灵活且易于满足的条件，实现弯/平台布尔函数的构造。
• 探索此类构造是否能生成不属于已知主类的函数。

提出的方法

• 将布尔函数表示为布尔函数 f 与向量函数 H 的复合，即 f(H(x))，从而实现对坐标函数的灵活操作。
• 利用复合表示推导出复合函数保持弯或平台性质的充分条件。
• 应用沃尔什-哈达玛变换（WHT）分析，刻画复合函数的谱特性。
• 采用子空间分解与对偶性（如 U⊥）来控制沃尔什谱，确保函数具备平台或弯的性质。
• 提出一种通用方法（命题5.3），通过直接求和各函数的沃尔什谱支持，将多个平台函数组合，生成新的平台或弯函数。
• 利用仿射子空间的结构与谱划分，确保沃尔什系数非零并达到期望的幅值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否建立一个统一的通用框架，将弯布尔函数和平台布尔函数的多种二次构造方法统一起来？
• RQ2 能否设计出无需对初始弯或平台函数施加严格限制条件的二次构造方法？
• RQ3 如间接和与Rothaus构造等知名方法，是否可视为更广泛统一框架下的特例？
• RQ4 能否生成不属于已知主类的新型弯函数？
• RQ5 该框架能否在最小约束下高效生成相同或更大变量空间上的弯/平台函数？

主要发现

• 复合表示框架广义化并包含了现有构造方法，如间接和与Rothaus构造，作为其特例。
• 该框架使得在仅要求初始函数为弯函数的前提下，无需额外约束即可构造弯函数，从而解决了二次构造中的一个开放问题。
• 提供了明确的构造方法，其中所需的初始条件（如沃尔什谱支持与子空间）可轻松满足，如示例所示。
• 该方法可高效生成更大变量空间上的新弯或平台函数，且通过子空间分解控制其谱特性。
• 提出了一种通用方法（命题5.3），通过将 r 个平台函数的沃尔什谱支持进行直和，生成一个 t-平台函数，其中 t=0 表示弯性。
• 该框架提供了一种系统化方法，通过在满足充分条件的前提下，改变坐标函数与外函数的选择，生成无穷多个二次构造。