[论文解读] A General Fredholm Theory II: Implicit Function Theorems

Helmut Hofer, Kris Wysocki+1 more|ArXiv.org|May 9, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文在 M-多胞形与多胞形理论的背景下，为 Fredholm 截面发展了一套广义隐函数理论，将经典 Fredholm 理论推广至局部维数可变的无穷维空间。通过压缩芽（contraction germs）建立了无穷小隐函数定理，并证明了适当 Fredholm 截面的扰动将产生具有边界与角点的紧致流形解集，从而在辛场论及相关的 Floer 型理论中导出 cobordism 不变量。

ABSTRACT

This is the revised version of the second paper in a series introducing a generalized Fredholm theory in a new class of smooth spaces called polyfolds. The theory will be illustrated in upcoming papers by applications to Floer Theory, Gromov-Witten Theory and Symplectic Field Theory. Some proofs have been improved and a glossary added.

研究动机与目标

• 将经典隐函数定理推广至 M-多胞形及其强 M-多胞形丛的无穷维设定中。
• 为局部维数非恒定且光滑性可变的空间中的 Fredholm 截面建立严谨的分析框架。
• 为适当的 Fredholm 截面建立横截性与扰动理论，从而获得行为良好的解集。
• 通过解集的 cobordism 构造不变量，适用于辛场论与 Gromov-Witten 理论。

提出的方法

• 引入压缩芽作为关键分析工具，利用完备空间中的压缩原理，推导出具有受控正则性的解芽。
• 通过拼接（splicing）基微分几何定义 Fredholm 截面，利用 M-多胞形丛上的 sc-光滑与 sc⁺-光滑结构。
• 使用 M-多胞形的内部与边界情形下的良好参数化，发展解集的局部理论。
• 应用辅助范数与混合收敛性，控制扰动并确保相对于边界的横截性。
• 通过适当 Fredholm 截面构造全局理论，并证明存在任意小的 sc⁺-扰动，使得解集具有边界与角点。
• 通过光滑点处截面的线性化定义 sc-Fredholm 算子，确保在扰动下指标不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将隐函数定理推广至局部维数非恒定的无穷维空间？
• RQ2 在何种条件下，Fredholm 截面的解集为具有边界与角点的流形？
• RQ3 适当 Fredholm 截面的小扰动能否使解集横截于边界并构成 cobordant 关系？
• RQ4 在扰动下，Fredholm 截面的解集如何导出如 cobordism 类等不变量？
• RQ5 压缩芽与 sc-光滑结构在确保解芽正则性方面起何种作用？

主要发现

• 对于压缩芽，无穷小隐函数定理成立，通过压缩原理确保了解芽的存在性与正则性。
• Fredholm 截面的局部解集被证明为具有边界与角点的流形，且在内部与边界情形下均有显式参数化。
• 对于适当 Fredholm 截面 f，存在任意小的 sc⁺-截面 s，使得 f+s 与 ∂X 横截，且 (f+s)⁻¹(0) 在 f⁻¹(0) 的任意给定邻域 U 内为具有边界与角点的紧致流形。
• 给定两个足够小的 sc⁺-扰动 s₀ 与 s₁，存在光滑扰动弧 sₜ，使得总解集 {(t,x) | f(x)+sₜ(x)=0} 在 [0,1]×X 中为具有边界与角点的紧致流形。
• 当边界为空（∂X=∅）时，Fredholm 截面的解集为无方向 cobordism 不变量；对于定向截面，其为定向 cobordism 范畴中的不变量。
• 在光滑点处，sc-光滑截面的线性化为 sc-Fredholm 算子，且 Fredholm 指标在使用不同 sc⁺-截面进行线性化时保持不变。