[论文解读] A general maximum principle for mean-field stochastic differential equations with jump processes

Mokhtar Hafayed, Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文建立了带跳跃过程的均值场随机微分方程最优控制的一般随机最大值原理，其中控制影响扩散和跳跃系数。通过尖刺扰动法，推导出一阶伴随过程的线性均值场后向随机微分方程（带跳跃），其包含期望依赖系数和跳跃动态，将经典结果扩展至包含期望依赖系数和跳跃动态的情形。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the optimal control problems for stochastic differential equations (SDEs in short) of mean-field type with jump processes. The control variable is allowed to enter into both diffusion and jump terms. This stochastic maximum principle differs from the classical one in the sense that here the first-order adjoint equation turns out to be a linear mean-field backward SDE with jumps, while the second-order adjoint equation remains the same as in Tang and Li's stochastic maximum principle [32]. Finally, for the reader's convenience we give some analysis results used in this paper in the Appendix.

研究动机与目标

• 研究由带跳跃过程的均值场SDE所控制的随机最优控制问题的必要最优性条件。
• 将经典随机最大值原理扩展至系数依赖于状态过程期望值的系统。
• 在均值场框架下纳入控制依赖的扩散和跳跃系数。
• 处理成本泛函本身也为均值场类型的最优控制问题。
• 建立适用于非凸控制域和非凸系数的一般最大值原理。

提出的方法

• 应用尖刺扰动法对最优控制进行扰动，推导一阶最优性条件。
• 将一阶伴随方程推导为带跳跃的线性均值场后向SDE，与经典SDE相区别。
• 利用跳跃过程的鞅表示定理刻画伴随过程。
• 采用跳跃扩散的分部积分公式处理成本泛函中的变分。
• 依赖跳跃扩散的Itô公式及关于Poisson随机测度的随机积分的矩估计。
• 通过涉及哈密顿函数和控制扰动的二阶项的变分不等式建立最优性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将随机最大值原理扩展至带跳跃过程的均值场SDE？
• RQ2 当控制同时进入扩散和跳跃系数且处于均值场背景下时，最优性的必要条件是什么？
• RQ3 当系数依赖于状态的期望值时，伴随方程的结构有何不同？
• RQ4 尖刺扰动法能否被调整以在存在跳跃和均值场依赖的情况下推导最优性条件？
• RQ5 在非凸控制域下，所推导的最优性条件如何确保其必要性和普遍性？

主要发现

• 一阶伴随方程为带跳跃的线性均值场后向SDE，其推广了经典伴随方程。
• 二阶伴随方程与Tang和Li的框架保持不变，保留了经典最大值原理的结构。
• 必要最优性条件通过涉及哈密顿函数和控制扰动二次项的变分不等式表达。
• 当系数和成本泛函不显式依赖于期望值时，结果退化为Tang和Li（2003）的经典随机最大值原理。
• 该方法通过包含伴随过程和跳跃贡献的哈密顿系统，完整刻画了最优控制。
• 分析包括严格的矩估计和可积性条件，确保所推导最优性条件的有效性。