[论文解读] A General Solver Based on Sparse Resultants

Ioannis Z. Emiris|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于稀疏结式的一般性多项式系统求解器，通过牛顿多面体导出的结构化矩阵，将根求解问题转化为特征值计算。该方法在具有稀疏结构的系统中实现了高效率与高精度，已在视觉、机器人学和结构生物学应用中实现快速且精确的求解，平均在线CPU时间低于0.5秒。

ABSTRACT

Sparse (or toric) elimination exploits the structure of polynomials by measuring their complexity in terms of Newton polytopes instead of total degree. The sparse, or Newton, resultant generalizes the classical homogeneous resultant and its degree is a function of the mixed volumes of the Newton polytopes. We sketch the sparse resultant constructions of Canny and Emiris and show how they reduce the problem of root-finding to an eigenproblem. A novel method for achieving this reduction is presented which does not increase the dimension of the problem. Together with an implementation of the sparse resultant construction, it provides a general solver for polynomial systems. We discuss the overall implementation and illustrate its use by applying it to concrete problems from vision, robotics and structural biology. The high efficiency and accuracy of the solutions suggest that sparse elimination may be the method of choice for systems of moderate size.

研究动机与目标

• 开发一种用于多项式方程组的一般性求解器，利用稀疏结构提升计算效率。
• 通过稀疏结式矩阵将根求解问题转化为特征值问题，避免使用格罗布纳基或同伦延续方法。
• 实现并评估一种可实际应用的求解器，能够以高精度和高速度处理来自视觉、机器人学和结构生物学的真实世界问题。
• 解决系数扰动引起的数值不稳定性问题，并通过特征值聚类与误差分析提升解的可靠性。
• 通过矩阵多项式与友矩阵技术，探索对多重根与对称系统进行高效求解的方法。

提出的方法

• 利用牛顿多面体的混合体积构造稀疏结式矩阵，将经典结式推广至稀疏系统。
• 通过稀疏结式导出的矩阵将根求解问题转化为广义特征值问题，从而可利用稳健的数值线性代数工具。
• 采用两种方法：添加一个通用的u-多项式以构造超定系统，或在系数域中隐藏一个变量以保持多项式数量不变。
• 当系统在某一变量上为首一多项式时，对所得友矩阵应用标准特征分解，尤其适用于二次或更高次的矩阵多项式。
• 使用C语言实现该方法，并集成特征值求解器，将离线的矩阵构建与在线的系数特化过程分离，以提升效率。
• 实施数值条件性检查，并在矩阵系数条件数较差时使用随机变换以提高稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够高效构造稀疏结式矩阵，并在不增加问题维度的前提下，将根求解问题转化为特征值问题？
• RQ2 在真实世界系统中，稀疏结式求解器的性能与精度与格罗布纳基方法和同伦方法相比如何？
• RQ3 系数输入中的数值不稳定性有何影响，以及如何在特征值计算过程中加以缓解？
• RQ4 如何利用基于特征值的方法准确求解具有高重数根的对称系统？
• RQ5 该方法能否推广至处理具有中等混合体积的任意稀疏多项式系统？

主要发现

• 在Sun Sparc 20上，该求解器在视觉、机器人学和结构生物学问题上的平均在线CPU时间为0.2至0.4秒。
• 解的精度达到至少5至8位小数，真实解的残差范围为[0.6×10⁻⁹, 0.3×10⁻³]，而虚假解的残差最高可达3.0×10²⁰。
• 在系数被扰动的环己烷问题中，该方法恢复的根至少精确到8位小数，与整数域上的格罗布纳基结果一致。
• 在一个含16个实根的实例中，该方法通过利用对称性与特征向量分析，正确识别了所有根，包括来自三重特征值的根。
• 某一问题的结式矩阵维度为86，其中30行对应于添加的u-多项式，广义特征值问题成功计算出12个复根、3个无穷实根和15个有限实根。
• 该方法在速度与精度上优于以往方法，尤其在混合体积相对于贝祖界较小的系统中表现更优。