[论文解读] A Generalisation of Steenrod's Approximation Theorem

Christoph Wockel|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2006

Mathematics and Applications参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文将斯蒂诺德的逼近定理推广至纤维为无限维局部凸流形的光滑局部平凡丛。在基流形与纤维满足温和的拓扑与几何条件时，证明了任意连续截面均可被光滑逼近，同时保持闭子集上的光滑性，并可延拓为连续同伦。

ABSTRACT

In this paper we aim for a generalisation of the Steenrod Approximation Theorem from, concerning a smoothing procedure for sections in smooth locally trivial bundles. The generalisation is that we consider locally trivial smooth bundles with a possibly infinite-dimensional typical fibre. The main result states that a continuous section in a smooth locally trivial bundles can always be smoothed out in a very controlled way (in terms of the graph topology on spaces of continuous functions), preserving the section on regions where it is already smooth.

研究动机与目标

• 将斯蒂诺德经典的逼近定理推广至纤维为无限维局部凸流形的丛。
• 建立一种连续截面的光滑化程序，使其在指定闭子集上保持光滑性。
• 构造原截面与光滑化截面之间的连续同伦，且在给定开集之外保持相等。
• 为无限维几何中的光滑逼近提供一个框架，特别是在局部凸流形的背景下。
• 证明光滑同伦与连续同伦在局部凸流形中一致，推广有限维情形下的结果。

提出的方法

• 利用连续函数空间上的图拓扑，以确保对收敛与逼近的精细控制。
• 在模型为局部凸空间中凸开集的坐标图中应用局部光滑化程序。
• 通过使用光滑截断函数重新参数化给定的连续同伦来构造同伦。
• 将问题约化为在具有角点的流形上的拉回丛，从而利用主定理的适用性。
• 采用单位分解论证，以在需要时确保同伦的基点保持不变。
• 依赖于基流形的局部紧致性与纤维的局部凸性，以保证光滑逼近的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 斯蒂诺德逼近定理能否推广至纤维为无限维局部凸流形的丛？
• RQ2 在何种条件下，可对光滑局部平凡丛中具有连续截面的纤维进行光滑逼近，同时保持其在闭子集上的光滑性？
• RQ3 能否在给定开集之外固定截面的前提下，构造原截面与其光滑逼近之间的连续同伦？
• RQ4 光滑同伦与连续同伦在局部凸流形中是否一致？若一致，其条件为何？
• RQ5 拓扑选择——特别是图拓扑——如何影响无限维情形下逼近与同伦构造？

主要发现

• 在纤维为局部凸流形的光滑局部平凡丛中，任意连续截面均可被光滑逼近，且在给定开集之外与原截面一致。
• 该光滑逼近可通过一个连续同伦实现，且在该开集的补集上保持原截面不变。
• 该同伦可进一步优化为在原截面已光滑的闭子集邻域上为光滑。
• 对于具有角点的流形，定理可推广至允许在同伦控制下进行光滑逼近，即使基空间不紧致亦可。
• 该结果表明，映射到局部凸流形的连续映射同伦于光滑映射，且连续同伦同伦于光滑同伦。
• 在基点保持的截面与同伦情形下，构造可产生在整个过程中保持基点不变的光滑同伦。