[论文解读] A Generalization of Birkhoff's Theorem for Distributive Lattices, with Applications to Robust Stable Matchings.

Tung Mai, Vijay V. Vazirani|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用 5

一句话总结

本文通过在偏序上引入压缩概念，将Birkhoff定理推广至分配格，从而实现对稳定匹配问题中子格的高效表征。文中提出了算法，用于计算在偏好列表扰动下保持鲁棒的稳定匹配，包括在多个扰动实例中均保持稳定的完全鲁棒匹配。

ABSTRACT

Birkhoff's theorem, which has also been called {\em the fundamental theorem for finite distributive lattices}, states that the elements of any such lattice $\cal L$ are isomorphic to the closed sets of a partial order, say $\Pi$. We generalize this theorem to showing that each sublattice of $\cal L$ is isomorphic to a distinct partial order that can be obtained from $\Pi$ via the operation of {\em compression}, defined in this paper. Let $A$ be an instance of stable matching, with $\cal L$ being its lattice of stable matchings, and let $B$ be the instance obtained by permuting the preference list of any one boy or any one girl. Let $\mathcal{M}_A$ and $\mathcal{M}_B$ be their sets of stable matchings. Our results are the following: - We show that $\mathcal{M}_A \cap \mathcal{M}_B$ is a sublattice of $\mathcal{L}$ and $\mathcal{M}_{A} \setminus \mathcal{M}_{B}$ is a semi-sublattice of $\mathcal{L}$. - Using our generalization of Birkhoff's Theorem, we give an efficient algorithm for finding the compression of $\Pi$ that is isomorphic to the lattice of $\mathcal{M}_A \cap \mathcal{M}_B$. - Given a polynomial sized domain $D$ of such errors (of permuting one of the preference lists), we give an efficient algorithm that checks if there is a stable matching for $A$ that is stable for each such resulting instance $B$. We call this a {\em fully robust stable matching}. - If yes, the set of all such matchings forms a sublattice of $\cal L$ and our algorithm finds its partial order as well. Using the latter, we can obtain a matching that optimizes (maximizes or minimizes) the weight among all fully robust stable matchings.

研究动机与目标

• 通过在偏序上引入新的压缩运算，将有限分配格的Birkhoff基本定理推广至子格。
• 分析当一个参与者的偏好列表被置换时稳定匹配的结构，证明稳定匹配的交集构成一个子格。
• 设计一种高效算法，计算原始实例与扰动实例中共有的稳定匹配子格所对应的偏序。
• 确定在多项式规模的扰动偏好列表集合中是否存在完全鲁棒的稳定匹配，并高效计算此类匹配。

提出的方法

• 引入对偏序Π的压缩运算，以导出与原始分配格的任意子格同构的新偏序。
• 证明原始实例A与扰动实例B（其中一个参与者的偏好列表被置换）的共同稳定匹配集合构成原始格L的一个子格。
• 利用推广的Birkhoff定理，高效计算与子格M_A ∩ M_B对应的压缩偏序。
• 设计一种多项式时间算法，用于检查在给定多项式规模扰动实例域中是否存在完全鲁棒的稳定匹配。
• 证明若此类匹配存在，则所有完全鲁棒匹配的集合构成一个子格，并可高效计算其生成偏序。
• 利用计算得到的偏序，寻找能优化给定权重函数（最大化或最小化）的完全鲁棒匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过在偏序上引入新型压缩运算，将Birkhoff定理推广以表征分配格的子格？
• RQ2 原始稳定匹配实例与单个偏好列表被置换的实例之间，稳定匹配交集的格论结构为何？
• RQ3 能否构建一种高效算法，计算偏好列表扰动后共同稳定匹配子格所对应的偏序？
• RQ4 对于给定的多项式规模偏好列表扰动集合，是否存在一种高效方法，以确定在所有结果实例中均保持稳定的完全鲁棒稳定匹配？
• RQ5 若此类匹配存在，能否高效计算所有完全鲁棒稳定匹配的完整子格，并在此基础上进行优化？

主要发现

• 原始实例A与扰动实例B（其中一个参与者的偏好列表被置换）的稳定匹配交集M_A ∩ M_B构成原始格L的一个子格。
• 集合M_A ∖ M_B构成L的一个半子格，表明在扰动下格具有结构化的分解。
• 存在一种高效算法，利用推广的Birkhoff定理，计算与子格M_A ∩ M_B同构的压缩偏序。
• 对于任意多项式规模的扰动偏好列表域D，可高效确定是否存在完全鲁棒的稳定匹配（在所有扰动实例中均保持稳定）。
• 若完全鲁棒稳定匹配存在，则所有此类匹配的集合构成L的一个子格，且其生成偏序可被高效计算。
• 计算得到的偏序使得可在完全鲁棒稳定匹配集合上进行优化，以找到使给定权重函数最大化或最小化的匹配。