[论文解读] A Generalization of Deutsch's Example

Giovanni Costantini, Fabrizio Smeraldi|ArXiv.org|Feb 7, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文将德菲特著名的量子算法推广至任意定义域和值域大小的函数，表明尽管广义问题不存在确定性量子解法，但完全概率性的量子算法可利用量子并行性，比经典采样更高效地探索函数的定义域。其主要贡献在于构建了一个超越原始两位情况的函数评估中概率性量子优势的框架。

ABSTRACT

Quantum parallelism is the main feature of quantum computation. In 1985 D. Deutsch showed that a single quantum computation may be sufficient to state whether a two-valued function of a two-valued variable is constant or not. Though the generalized problem with unconstrained domain and range size admits no deterministic quantum solution, a fully probabilistic quantum algorithm is presented in which quantum parallelism is harnessed to achieve a quicker exploration of the domain with respect to the classical ``sampling'' strategy.

研究动机与目标

• 将德菲特原始的量子算法（用于区分两量子比特上的常数函数与平衡函数）推广至定义域和值域大小任意的函数。
• 研究在广义函数评估问题中，量子计算是否能为经典方法提供加速。
• 开发一种概率性量子算法，利用量子并行性在无法实现确定性解法时高效探索函数定义域。
• 阐明在原始二值情况之外，量子优势在函数性质检测中的根本限制。

提出的方法

• 本文将广义函数评估问题表述为：在不限制 n 和 m 的情况下，确定函数 f: {0,1}^n → {0,1}^m 是否为常数函数。
• 证明由于量子态可区分性的基本量子约束，不存在能解决此广义问题的确定性量子算法。
• 提出一种概率性量子算法，利用量子并行性在叠加态中同时评估多个函数值。
• 该算法应用幅度放大技术，以提高测量到揭示函数全局行为结果的概率。
• 该策略包括制备所有输入态的叠加，单位地应用函数，并通过测量提取关于函数全局行为的概率信息。
• 该方法与经典采样形成对比，后者需多次评估才能以高置信度推断函数性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当定义域和值域规模超过德菲特原始问题时，量子并行性是否能为确定函数全局性质提供加速？
• RQ2 是否存在一种量子算法，即使在不存在确定性解法的情况下，也能概率性地判断函数是否为常数？
• RQ3 在广义函数评估问题中，量子定义域探索的效率与经典采样策略相比如何？
• RQ4 量子计算在解决广义常数/平衡函数问题时的根本限制是什么？

主要发现

• 当定义域和值域大小不受限制时，广义函数评估问题不存在确定性量子算法。
• 构建了一种完全概率性的量子算法，通过利用量子并行性更高效地探索函数定义域，从而在速度上超越经典采样。
• 该量子算法可使用比经典方法更少的评估次数，以高概率判断函数是否为常数。
• 通过减少推断函数性质所需查询的期望次数，该概率方法保持了量子优势。
• 该方法表明，即使在缺乏确定性解法的情况下，量子并行性仍可被用于函数性质检测。