[论文解读] A Generalization of Golab's Theorem and Applications to fracture mechanics

Alessandro Giacomini|ArXiv.org|Jan 16, 2002

Numerical methods in engineering参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文将Golab关于Hausdorff测度下确界连续性的定理推广至断裂力学中各向异性和非均匀的表面能泛函。通过时间离散化最小化方法，在线弹性体的平面剪切与反平面剪切条件下，建立了准静态脆性断裂演化过程的存在性与收敛性，证明了弹性能与表面能的强收敛性，其关键在于针对泛函 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 提出了一项新的下半连续性结果。主要贡献在于为具有各向异性和非均匀材料特性的断裂扩展提供了严格的数学框架。

ABSTRACT

We study the lower semicontinuity for functionals defined on compact sets in R^2 with a finite number of connected components and finite length which depend on their normal vector. We apply the result to the study of quasi-static growth of brittle fractures in linearly elastic inhomogeneous and anisotropic bodies.

研究动机与目标

• 将准静态脆性断裂扩展的数学表述推广至非均匀且各向异性的线弹性材料。
• 在具有有限 $\mathcal{H}^1$-测度和有限多个连通分支的紧致集上，建立表面能泛函 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 的下半连续性。
• 在静力平衡与能量连续性条件下，证明时间离散化逼近解收敛于准静态断裂演化问题的解。
• 处理在各向异性表面能与非均匀体能密度存在时的反平面与平面剪切形变。

提出的方法

• 采用时间离散化方案，将时间区间 $[0,1]$ 划分为子区间，并在每个时间步求解一个受限于前一时刻裂纹构型的最小化问题序列。
• 在 $K \in \mathcal{K}_m^f(\overline{\Omega})$ 上最小化泛函 $\mathcal{G}(g,K) = \|Eu\|_A^2 + \int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$，并满足 $K_{i-1}^\delta \subseteq K$，以确保裂纹扩展的不可逆性。
• 通过紧致性与下半连续性论证，利用紧致集序列的Hausdorff收敛性，证明了极小化元的存在性。
• 利用关于 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 的新下半连续性定理，证明了离散逼近的收敛性，该定理推广了Golab定理。
• 通过能量估计与紧致性，证明了应变场 $Eu^\delta(t) \to Eu(t)$ 在 $L^2(\Omega, \text{M}^{2\times 2}_{\rm sym})$ 中的强收敛性。
• 利用新半连续性结果与一致有界性，证明了表面能项 $\int_{K^\delta(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1 \to \int_{K(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有有限 $\mathcal{H}^1$-测度和有限多个连通分支的紧致集上，对各向异性和非均匀的 $\varphi$，建立表面能泛函 $\int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 的下半连续性？
• RQ2 在静力平衡与能量连续性条件下，时间离散化最小化方案是否收敛于准静态断裂演化问题的解？
• RQ3 在非均匀且各向异性的弹性材料情况下，能否严格证明体能与表面能项的收敛性？
• RQ4 所提出的框架如何将先前在均匀、各向同性设定下的结果推广至更一般的材料行为？
• RQ5 近似法向量 $\nu_x$ 在非正则紧致集上定义表面能时起什么作用？

主要发现

• 证明了Golab定理的推广：即使 $\varphi$ 为各向异性、非均匀且关于法向变量 $1$-齐次，泛函 $K \mapsto \int_K \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 关于 $\mathcal{K}_m^f(\overline{\Omega})$ 上的Hausdorff收敛性仍为下半连续。
• 时间离散化最小化方案产生了一组逼近解 $K^\delta(t)$，当 $\delta \to 0$ 时，其在Hausdorff度量下收敛于极限 $K(t)$，从而保证了准静态断裂演化的存在性。
• 应变场 $Eu^\delta(t)$ 在 $L^2(\Omega, \text{M}^{2\times 2}_{\rm sym})$ 中强收敛于 $Eu(t)$，保证了体弹性能的收敛性。
• 表面能项 $\int_{K^\delta(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 收敛于 $\int_{K(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$，即使在各向同性情形 $\varphi \equiv 1$ 下，这也是新结果，其将裂纹长度的收敛性进行了推广。
• 总能量 $\mathcal{G}(t) = \|Eu(t)\|_A^2 + \int_{K(t)} \varphi(x,\nu)\,d\mathcal{H}^1$ 关于时间连续，且离散逼近在能量与几何上均收敛于真实解。