[论文解读] A generalization of Ostrowski type inequality for mappings whose second derivatives belong to L$_{1}\left(a,b ight) $ and applications

Ather Qayyum, Ibrahima Faye+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文将 Ostrowski 型不等式推广至二阶导数属于 $L_1(a,b)$ 的函数，引入一个含参数 $h$ 的新不等式，统一并扩展了先前结果。主要贡献是为使用梯形法和中点法的数值积分提供了紧致的误差界，并在特殊均值与改进的余项估计中得到应用。

ABSTRACT

In this paper, we will improve and generalize inequality of Ostrowski type for mappings whose second derivatives belong to L$_{1}\left(a,b ight) $ . Some well known inequalities can be derived as special cases. In addition, perturbed mid-point inequality and perturbed trapezoid inequality are also obtained. The obtained inequalities have immediate applications in numerical integration where new estimates are obtained for the remainder term of the trapezoid and midpoint formula. Applications to some special means are also investigated.

研究动机与目标

• 通过将现有 Ostrowski 型不等式推广至二阶导数属于 $L_1(a,b)$ 的函数，而非要求一阶导数有界，实现推广。
• 推导一个包含参数 $h$ 的统一不等式，该不等式在中点法与梯形法之间插值。
• 基于 $\|f''\|_1$ 显式建立中点法与梯形法的扰动版本及其误差界。
• 将新不等式应用于推导幂平均、调和平均与对数平均等特殊均值的新估计。
• 通过提供复合求积规则中更紧致的余项界，改进数值积分中的误差估计。

提出的方法

• 利用分部积分法与 $L_1$-范数二阶导数的性质，推导一个新的 Ostrowski 型不等式。
• 引入参数 $h \in [0,1]$，在标准中点法与梯形法之间实现插值，从而获得广义误差表达式。
• 使用恒等式 $f(x) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt + \text{误差项}$，并通过 $\|f''\|_1$ 估计误差。
• 将广义不等式应用于特定映射（$f(x) = x^r$，$f(x) = 1/x$，$f(x) = \ln x$），推导特殊均值的不等式。
• 通过引入涉及 $f'(a)$、$f'(b)$ 与 $h$ 的校正项，建立扰动中点法与梯形法。
• 利用局部误差估计 $\frac{h_i^2}{8}\|f''\|_1$，推导 $n$ 段求积规则的复合误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Ostrowski 型不等式推广至二阶导数属于 $L_1(a,b)$ 的函数，而非要求一阶导数有界？
• RQ2 当 $f'' \in L_1(a,b)$ 时，扰动中点法与梯形法的最优误差界是什么？
• RQ3 广义不等式能否用于推导算术平均、几何平均、调和平均与对数平均等特殊均值的新不等式？
• RQ4 新误差界在数值积分中的紧致性与适用性方面，相较于经典结果有何改进？
• RQ5 参数 $h$ 在广义不等式中如何平衡中点法与梯形法的贡献？

主要发现

• 本文为满足 $f \in C^2[a,b]$ 且 $f'' \in L_1(a,b)$ 的函数建立了新的广义 Ostrowski 型不等式，适用于 $x \in [a + h\frac{b-a}{2}, b - h\frac{b-a}{2}]$，其误差界与 $\left[\frac{1}{2}(b-a)(1-h) + |x - \frac{a+b}{2}|\right]^2 \|f''\|_1$ 成正比。
• 对于扰动梯形法，余项满足 $|R_T| \leq \sum_{i=0}^{n-1} \frac{h_i^2}{8}\|f''\|_1$，优于经典估计。
• 对于扰动中点法，余项被界为 $\frac{1}{8}(b-a)^2(1-h)^2\|f''\|_1$，当 $h=0$ 时退化为 $\frac{1}{8}(b-a)^2\|f''\|_1$。
• 当应用于 $f(x) = x^r$ 时，不等式导出 $|A^r - L_r^r(a,b)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 |r(r-1)L_{r-1}^{r-1}(a,b)|$，为幂平均提供了新界。
• 对于 $f(x) = \frac{1}{x}$，不等式导出 $|A^{-1} - L^{-1}(a,b)| \leq \frac{1}{4}(b-a)^2 L_{-3}^{-3}(a,b)$，为调和平均提供了新估计。
• 对于 $f(x) = \ln x$，不等式导出 $|\ln A - \ln I(a,b)| \leq \frac{1}{8}(b-a)^2 L_{-2}^{-2}(a,b)$，从而推出 $\left|\frac{A}{I}\right| \leq \exp\left(\frac{(b-a)^2}{8}L_{-2}^{-2}(a,b)\right)$。