[论文解读] A generalization of product construction of multimagic squares

Yong Zhang, Kejun Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过使用对角拉丁方和克罗内克积，推广了多重幻方的乘积构造方法，从而能够生成新的双幻方和三幻方家族。其主要贡献是一种新颖的构造方法，通过用结构化的通用 t-多重幻方替换固定块矩阵，扩展了现有复合多重幻方的生成方式，为此前无法实现的阶数（特别是模 4 余 2 的阶数）生成了无穷多组双幻方和三幻方。

ABSTRACT

In this paper, constructions of multimagic squares are investigated. Diagonal Latin squares and Kronecker products are used to get some constructions of multimagic squares. Consequently, some new families of compound multimagic squares are obtained.

研究动机与目标

• 将多重幻方的乘积构造方法推广至标准克罗内克积框架之外。
• 解决在模 4 余 2 的阶数下构建双幻方和三幻方的空白，这些阶数通常被先前的方法所排除。
• 通过幻方的结构化划分，建立多重幻方存在性的新充分条件。
• 利用正交对角拉丁方和复合乘积技术，将已知的双幻方和三幻方构造方法扩展至更大且更多样化的阶数。

提出的方法

• 提出一种广义乘积构造方法，其中将块矩阵 $ J_{m\times m} \bigotimes B $ 替换为分块的通用 $ t $-多重幻方 $ \tilde{\mathcal{B}} $，记为 PGMS($ mn,t $)，其中每个块 $ B_{u,v} $ 为 MS($ n,t-1 $)。
• 定义新乘积 $ A * B = n^2 A \otimes J_{n\times n} + \tilde{\mathcal{B}} $，其中 $ A $ 为 MS($ m,t $)，$ \tilde{\mathcal{B}} $ 为 PGMS($ mn,t $)，确保结果为 MS($ mn,t $)。
• 利用正交对角拉丁方构造所需的 PGMS($ mn,t $) 块，利用此类对偶存在的条件：当且仅当 $ n \notin \{2,3,6\} $ 时存在。
• 利用克罗内克积结构，通过确保 $ c_{i,j}^e $ 的行、列和对角线和均等于期望的幻数 $ S_e(mn) $，在所有幂次 $ e = 1,2,\dots,t $ 上保持多重幻方性质。
• 递归应用该构造方法，并结合关于双幻方和三幻方的已知结果（例如来自 Boyer 的网站以及 Chen-Li 的研究），将存在性扩展至新阶数。
• 证明若 $ A $ 为 MS($ m,2 $) 且 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 为 PGMS($ mn,2 $)，则 $ A * B $ 为 MS($ mn,2 $)，从而可构造 $ mn \equiv 2 \pmod{4} $ 的双幻方。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准多重幻方乘积构造方法能否推广至 $ J_{m\times m} \otimes B $ 之外的更灵活块结构？
• RQ2 将 $ J_{m\times m} \otimes B $ 替换为结构化的分块 $ t $-多重幻方 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 是否能保持多重幻方性质？
• RQ3 该广义构造能否生成模 4 余 2 的阶数（这些阶数通常被先前方法排除）的双幻方和三幻方？
• RQ4 在 $ t \geq 2 $ 时，$ m $ 和 $ n $ 的哪些条件可确保 PGMS($ mn,t $) 的存在？
• RQ5 能否利用此广义乘积，将已知的双幻方和三幻方家族扩展至新的复合阶数？

主要发现

• 本文证明：若 $ A $ 为 MS($ m,t $) 且 $ \tilde{\mathcal{B}} $ 为 PGMS($ mn,t $)，则广义乘积 $ A * B = n^2 A \otimes J_{n\times n} + \tilde{\mathcal{B}} $ 为 MS($ mn,t $)，从而推广了标准乘积构造方法。
• 对于双幻方，该构造方法生成了新的 MS($ mn,2 $) 家族，其中 $ mn \in \Omega_4 = \{ mn \mid 8 \leq m \leq 64, m \equiv 2 \pmod{4}, n \geq 5, n \text{ 为奇数} \} $，包括模 4 余 2 的阶数，这些阶数此前无法实现。
• 若存在一对正交对角拉丁方（阶数为 $ n $，且 $ n \notin \{2,3,6\} $），则可构造 PGMS($ mn,2 $)，这对生成新的双幻方至关重要。
• 对于三幻方，本文证明：若 $ m \in \{12,24,40\} \cup \{2^l \mid l \geq 4\} $ 且 $ n \in \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \Omega_3 \cup \Omega_4 $，则 MS($ mn,3 $) 存在，从而扩展了已知的三幻方家族。
• 该构造方法利用了幻方的互补性：若 $ A $ 为 MS($ n,t $) 且 $ t $ 为偶数，则 $ B = (n^2-1)J_{n\times n} - A $ 也为 MS($ n,t $)，从而可生成 $ 2l $-SCMS($ n,t $)（$ l \geq 1 $），这些被用作构建模块。
• 该方法成功生成了新的双幻方和三幻方无穷家族，尤其针对 $ mn \equiv 2 \pmod{4} $ 的阶数，填补了文献中此类阶数此前被标准乘积构造方法排除的空白。