[论文解读] A Generalization of Schur's $P$- and $Q$-Functions

Soichi Okada|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过多项式序列引入了Schur的$P$-和$Q$-函数的广义框架，将Macdonald的第九种变体推广至对称函数。通过Pfaffian和线性代数方法，建立了关键恒等式——Cauchy型、Pieri型以及Józefiak–Pragacz–Nimmo公式，统一了Schur $P$-函数、Ivanov的阶乘$P$-函数以及经典根系的$t=-1$ Hall–Littlewood函数等特殊情况。

ABSTRACT

We introduce and study a generalization of Schur's $P$-/$Q$-functions associated to a polynomial sequence, which can be viewed as ``Macdonald's ninth variation'' for $P$-/$Q$-functions. This variation includes as special cases Schur's $P$-/$Q$-functions, Ivanov's factorial $P$-/$Q$-functions and the $t=-1$ specialization of Hall--Littlewood functions associated to the classical root systems. We establish several identities and properties such as generalizations of Schur's original definition of Schur's $Q$-functions, Cauchy-type identity, Józefiak--Pragacz--Nimmo formula for skew $Q$-functions, and Pieri-type rule for multiplication.

研究动机与目标

• 基于多项式序列，发展Schur的$P$-和$Q$-函数的广义框架，扩展Macdonald的第九种变体。
• 统一已知的特殊情况，如Schur $P$-函数、Ivanov的阶乘$P$-函数，以及经典根系的$t=-1$ Hall–Littlewood函数。
• 为广义$P$-函数建立基本恒等式——Cauchy型、偏函数公式及Pieri规则。
• 通过Pfaffian和矩阵恒等式，提供线性代数基础，广义化Nimmo型的$P$-函数公式。
• 将理论扩展至对偶$P$-函数，并证明涉及广义Schur函数及其对偶的Cauchy型恒等式。

提出的方法

• 通过由$A(\boldsymbol{x})$和多项式取值矩阵$V^{\boldsymbol{Τ}}_{\boldsymbol{\nu}}(\boldsymbol{x})$构造的反对称矩阵，利用Pfaffian公式定义广义$P$-函数$P^{{\boldsymbol{\frak{F}}}}_{\boldsymbol{\nu}}(\boldsymbol{x})$。
• 使用允许的多项式序列$\boldsymbol{Τ} = \{f_d\}_{d=0}^\infty$，满足$f_0(t) = 1$且$\deg f_d = d$，并在$f_d(0) = 0$对所有$d \geq 1$时考虑常数项为零的序列。
• 应用Pfaffian恒等式，包括Sylvester型及Laplace展开的类比，推导广义$P$-函数的结构性质。
• 通过将广义$P$-函数的生成函数与涉及$\widetilde{B}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})$和$\widetilde{\Pi}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})$的Pfaffian行列式关联，建立Cauchy型恒等式。
• 利用Pfaffian展开和矩阵分解技术，推导广义偏$P$-函数的Józefiak–Pragacz–Nimmo公式。
• 证明广义$P$-函数与单行$P$-函数乘积的Pieri型规则，将$P^\boldsymbol{Τ}_\lambda \cdot P^\boldsymbol{Τ}_{(k)}$表示为经偏移的广义$P$-函数之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过多项式序列$\boldsymbol{Τ}$广义化Schur的$P$-和$Q$-函数？它们从广义Schur函数继承了哪些性质？
• RQ2 广义化原始Nimmo型定义的$P$-函数的Pfaffian公式是什么？它如何推广至偏形式和对偶形式？
• RQ3 能否为广义$P$-函数建立Cauchy型恒等式？它与对偶$P$-函数生成函数有何关联？
• RQ4 广义$P$-函数与单行$P$-函数乘积的结构是怎样的？它如何推广经典Pieri规则？
• RQ5 Ivanov的阶乘$P$-函数和经典根系的$t=-1$ Hall–Littlewood函数等特殊情况，如何作为该广义框架的特例出现？

主要发现

• 广义$P$-函数$P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{x})$通过包含$A(\boldsymbol{x})$和$V^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{x})$的Pfaffian公式定义，符号取决于$n + l$的奇偶性。
• 建立了Cauchy型恒等式：$\sum_{\lambda} P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{x}) Q^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}(\boldsymbol{y}) = \widetilde{\Pi}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y}) \widetilde{\Delta}(\boldsymbol{x}) \widetilde{\Delta}(\boldsymbol{y})$，其中$Q^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda}$为对偶$P$-函数。
• 广义的Józefiak–Pragacz–Nimmo公式为：$P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda/\mu}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{\Delta(\boldsymbol{x})} \operatorname{Pf} \begin{pmatrix} A(\boldsymbol{x}) & V^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda^{0}}(\boldsymbol{x}) \\ -{}^{t}\!V^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda^{0}}(\boldsymbol{x}) & O \end{pmatrix}$，其中$\lambda^0$通过Frobenius记法定义。
• 证明了Pieri型规则：$P^{\boldsymbol{Τ}}_{\lambda} \cdot P^{\boldsymbol{Τ}}_{(k)} = \sum_{\mu \to \lambda \text{ via } k} P^{\boldsymbol{Τ}}_{\mu}$，其中求和针对通过添加一个方格与广义结构一致而得到的分拆$\mu$。
• 当$f_d(u) = u^d$时，广义$P$-函数恢复为Schur $P$-函数；当$f_d(u) = (u|\boldsymbol{a})^d$时，恢复为Ivanov的阶乘$P$-函数；当$t=-1$时，恢复为经典根系的Hall–Littlewood函数。
• 证明中使用的Pfaffian恒等式通过一系列引理得到验证，包括Pfaffian版本的Cauchy–Binet公式和Laplace展开，给出了$\operatorname{Pf}\widetilde{A}(\boldsymbol{x})$和$\operatorname{Pf}\begin{pmatrix}\widetilde{A}(\boldsymbol{x})&\widetilde{B}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})\\ -{}^{t}\!\widetilde{B}(\boldsymbol{x};\boldsymbol{y})&-\widetilde{A}(\boldsymbol{y})\end{pmatrix}$的显式公式。