[论文解读] A Generalization of the Hausdorff Dimension Theorem for Fractals

Mohsen Soltanifar|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文通过构建一个确定性框架，推广了Hausdorff维数定理，证明了在R^n中存在具有任意指定Hausdorff维数和正Lebesgue测度的虚拟分形。它表明，此类分形的集合具有beth-two的基数，扩展了以往仅限于测度为零的分形的结果，并通过广义均匀Cantor集及其乘积提供了构造性方法。

ABSTRACT

How many fractals exist in nature or the virtual world In this work, we partially answer the second question using Mandelbrots fundamental definition of fractals and their quantities of the Hausdorff dimension and Lebesgue measure. We prove the existence of beth-two of virtual fractals with a Hausdorff dimension of a bivariate function of them and the given Lebesgue measure. The question remains unanswered for other fractal dimensions.

研究动机与目标

• 解决文献中关于具有正Lebesgue测度和任意Hausdorff维数的分形存在性问题的空白。
• 通过引入正Lebesgue测度，将先前仅限于测度为零的分形的存在性定理加以扩展。
• 建立一个构造性框架，用于生成具有指定Hausdorff维数和Lebesgue测度的分形。
• 确定此类分形集合的基数，表明其达到beth-two。
• 为未来探索随机分形和广义分形（超越确定性构造）奠定基础。

提出的方法

• 通过递归移除参数化移除序列{β_n}的对称开区间，在R中构造广义均匀Cantor集。
• 将均匀Cantor集C_{β_n}(s,l)定义为嵌套紧集的交集，确保其具有Lebesgue测度l，且Hausdorff维数依赖于s和β。
• 通过此类Cantor集的可数并的有限笛卡尔积，构造R^n中的高维分形。
• 使用拓扑维数（小归纳维数）验证分形结构，表明基Cantor集的dim_ind(F) = 0。
• 应用Cantor-Schröder-Bernstein定理，证明此类分形的集合具有beth-two的基数。
• 证明所构造的集合满足Mandelbrot的分形定义：非整数Hausdorff维数和精细、不规则的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在R^n中构造性地证明存在具有任意给定Hausdorff维数和正Lebesgue测度的分形？
• RQ2 所有具有指定Hausdorff维数和Lebesgue测度的此类分形的集合的基数是多少？
• RQ3 具有正测度的分形的存在性是否扩展了以往仅限于测度为零的分形的已知结果？
• RQ4 此类分形集合的基数如何依赖于分形维数以及结构参数s和β？
• RQ5 该构造性方法能否推广至随机或非确定性分形构造？

主要发现

• 本文通过广义均匀Cantor集，在R^n中构造了一类具有任意指定Hausdorff维数和正Lebesgue测度的分形族。
• 所构造的分形具有正Lebesgue测度l > 0，且Hausdorff维数等于s和β的双变量函数，可通过调节实现任意期望值。
• 所有此类分形的集合具有beth-two的基数，与R^n的幂集及其他大数学集合的基数一致。
• 该证明是构造性的，可对任意给定的Hausdorff维数和Lebesgue测度显式生成分形，不同于纯存在性证明。
• 基Cantor集的拓扑维数为零，满足Mandelbrot对分形结构的要求。
• 该方法可被调整以表明R^n中非分形的集合也具有beth-two的基数，凸显了R^n中集合空间的浩瀚性。