[论文解读] A generalization of the Jiang-Su construction

Yasuhiko Sato|ArXiv.org|Mar 30, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将Jiang-Su构造推广至构造具有任意可数阿贝尔K₁群、唯一迹态、Z-稳定性的单位元、单个、无投影C*-代数。通过在一维图上的特殊结构维数下降代数的归纳极限，建立了在弱内自同构模下的非周期自同构的Rohlin型条件表征，从而得出此类自同构的共轭结果。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable abelian group. We construct a unital simple projectionless C*-algebra $A$ with a unique tracial state, that satisfies $(K_0(A), [1_A]) \cong (\Z, 1) $, $K_1(A) \cong G$, absorbs the Jiang-Su algebra tensorially, and that is obtained as the inductive limit C*-algebra of a sequence of dimension drop algebras of a specific form. This construction is based on the construction of the Jiang-Su algebra. By this construction, we show a certain conjugacy result for aperiodic automorphisms of these projectionless C*-algebras. We also show that an automorphism of this projectoinless C*-algebra has a certain aperiodicity up to the weakly inner automorphisms in the tracial representation if and only if it has a kind of Rohlin property, which leads to the Rohlin property after taking tensor product of certain C*-algebras of real rank zero.

研究动机与目标

• 将Jiang-Su代数构造推广，以生成具有任意可数阿贝尔K₁群的单位元、单个、无投影C*-代数。
• 为这些推广代数建立Z-稳定性，这是分类理论中的关键性质。
• 通过正元素条件表征模弱内自同构的非周期自同构。
• 在商群Aut(A)/WInn(A)中证明非周期自同构的共轭结果，推广已知的Jiang-Su代数结果。
• 证明自同构的Rohlin性质在与某些零实秩C*-代数张量积后，等价于模弱内自同构的非周期性。

提出的方法

• 在一维紧致豪斯多夫空间上构造无投影维数下降代数，该空间由区间[0,2π]与圆周T的单点并构成，通过在端点处调控矩阵代数以控制K₁群。
• 使用此类维数下降代数的归纳极限构造具有指定K₀ = ℤ、K₁ = G（G为任意可数阿贝尔群）的单位元、单个、无投影C*-代数。
• 应用Elliott分类理论及Lin关于一般维数下降代数归纳极限的结果，建立Z-稳定性（A ⊗ Z ≅ A）。
• 利用与唯一迹态τ相关的GNS表示πτ，并分析其弱闭包πτ(A)''以研究模弱内自同构的自同构。
• 在A∞中利用中心序列及在πτ(A)''中的强算子拓扑收敛性，将非周期性条件与满足τ(1 - ∑αj(fn)) → 0且fnαj(fn) = 0（j = 1,...,k−1）的正元素序列(fn)的存在性联系起来。
• 应用Connes对注入型II₁因子上非周期自同构的分类结果，在πτ(A)''中构造投影Em，将其上翻至A∞中的元素fm′，并通过函数演算精细处理，得到满足非周期性条件的所需正中心序列(fn)在A中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Jiang-Su构造能否推广至生成具有任意可数阿贝尔K₁群的单位元、单个、无投影C*-代数？
• RQ2 此类推广代数的自同构α的何种条件可使其在Aut(A)/WInn(A)中的像为非周期？
• RQ3 α ⊗ β在与零实秩C*-代数张量积后，其Rohlin性质是否等价于模弱内自同构的非周期性？
• RQ4 是否存在A中的正元素中心序列(fn)，使得fnαj(fn) = 0且τ(1 - ∑αj(fn)) → 0，从而表征Aut(A)/WInn(A)中α的非周期性？
• RQ5 能否通过迹表示中的渐近内自同构与弱内自同构建立非周期自同构的共轭性？

主要发现

• 本文构造了一个单位元、单个、无投影C*-代数A，满足(K₀(A), [1A]) ≅ (ℤ, 1)，K₁(A) ≅ G（G为任意可数阿贝尔群），具有唯一迹态τ，且A ⊗ ℤ ≅ A。
• 该构造通过一维图上维数下降代数的归纳极限实现，其中圆周T的数量与区间[0,2π]的数量分别对应于G的秩与挠子群之和。
• 对于A的自同构α，当且仅当对任意k ∈ ℕ，存在A中的正元素中心序列(fn)，使得fnαj(fn) = 0（j = 1,...,k−1）且τ(1 − ∑j=0k−1 αj(fn)) → 0时，α在模WInn(A)下为非周期。
• 对任意ε > 0，A的任意两个非周期自同构α与β均共轭，即存在α = γ ∘ σ ∘ β ∘ σ⁻¹，其中σ为渐近内自同构，γ ∈ WInn(A)且满足‖W − 1‖₂ < ε（W通过在πτ(A)''中的共轭实现πτ∘γ）。
• 自同构α在与适当零实秩C*-代数张量积后具有Rohlin性质，当且仅当其模弱内自同构为非周期。
• 证明依赖于从A∞中的中心序列上翻πτ(A)''中的投影，并对类似gm的元素使用函数演算，构造满足非周期性条件的所需正中心序列(fn)。