[论文解读] A Generalization of the Persistent Laplacian to Simplicial Maps

Aziz Burak Gülen, Facundo Mémoli+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Graph theory and applications被引用 2

一句话总结

该论文通过利用舒尔补（Schur complements）定义上行和下行持久拉普拉斯算子，将持久拉普拉斯算子推广至加权单纯复形之间的加权单纯映射（而不仅仅是包含关系）。证明了持久拉普拉斯算子的零化度等于持久贝蒂数，并提出了一种计算其矩阵表示的算法，同时建立了在映射复合下本质特征值的单调性，将谱持久性理论从基于包含关系的滤子推广至更一般的情形。

ABSTRACT

The (combinatorial) graph Laplacian is a fundamental object in the analysis of, and optimization on, graphs. Via a topological view, this operator can be extended to a simplicial complex K and therefore offers a way to perform "signal processing" on p-(co)chains of K. Recently, the concept of persistent Laplacian was proposed and studied for a pair of simplicial complexes K ↪ L connected by an inclusion relation, further broadening the use of Laplace-based operators. In this paper, we significantly expand the scope of the persistent Laplacian by generalizing it to a pair of weighted simplicial complexes connected by a weight preserving simplicial map f: K → L. Such a simplicial map setting arises frequently, e.g., when relating a coarsened simplicial representation with an original representation, or the case when the two simplicial complexes are spanned by different point sets, i.e. cases in which it does not hold that K ⊂ L. However, the simplicial map setting is much more challenging than the inclusion setting since the underlying algebraic structure is much more complicated. We present a natural generalization of the persistent Laplacian to the simplicial setting. To shed insight on the structure behind it, as well as to develop an algorithm to compute it, we exploit the relationship between the persistent Laplacian and the Schur complement of a matrix. A critical step is to view the Schur complement as a functorial way of restricting a self-adjoint positive semi-definite operator to a given subspace. As a consequence of this relation, we prove that the qth persistent Betti number of the simplicial map f: K → L equals the nullity of the qth persistent Laplacian Δ_q^{K,L}. We then propose an algorithm for finding the matrix representation of Δ_q^{K,L} which in turn yields a fundamentally different algorithm for computing the qth persistent Betti number of a simplicial map. Finally, we study the persistent Laplacian on simplicial towers under weight-preserving simplicial maps and establish monotonicity results for their eigenvalues.

研究动机与目标

• 将持久拉普拉斯算子从基于包含关系的滤子推广至加权单纯复形之间的一般加权保重单纯映射。
• 为更广泛的单纯映射设定中的持久拉普拉斯算子建立理论基础，其中不要求 K ⊆ L。
• 开发一种利用舒尔补技术计算持久拉普拉斯算子矩阵表示的算法。
• 证明对于任意单纯映射，持久拉普拉斯算子的零化度等于持久贝蒂数。
• 分析在单纯映射复合下特征值的单调性，特别关注上行持久拉普拉斯算子的本质谱。

提出的方法

• 将第 q 个持久拉普拉斯算子 ∆K,Lq 定义为在 fq 的像上对 L 上的组合拉普拉斯算子进行舒尔限制，利用上行和下行分量。
• 通过范畴论和 Loewner 顺序，将舒尔补形式化为自伴半正定算子在子空间上的函子性限制。
• 通过计算 ∆Lq,up 和 ∆Lq,down 在 fq 的像上的舒尔补，构建 ∆K,Lq 的矩阵表示。
• 利用下行持久拉普拉斯算子的核构造变换矩阵，以实现上行分量的完整矩阵重构。
• 引入本质上行持久拉普拉斯算子的概念，作为核心算子，排除因核扩展而产生的不可避免的零特征值。
• 证明本质上行持久拉普拉斯算子的谱在加权保重单纯映射的复合下具有单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 持久拉普拉斯算子能否在加权保重单纯复形之间的任意单纯映射中，有意义地推广至包含关系滤子之外？
• RQ2 在单纯映射设定中，持久拉普拉斯算子的零化度是否仍等于持久贝蒂数，如同在包含情形中一样？
• RQ3 舒尔补能否作为函子性工具，在此推广设定中定义并计算持久拉普拉斯算子？
• RQ4 持久拉普拉斯算子的特征值在单纯映射复合下是否具有单调性？若成立，其条件为何？
• RQ5 不可避免的零特征值在上行持久拉普拉斯算子中起什么作用？能否通过聚焦于本质谱来恢复单调性？

主要发现

• 第 q 个持久拉普拉斯算子 ∆K,Lq 的零化度等于单纯映射 f:K→L 的第 q 个持久贝蒂数，推广了包含情形下的经典结果。
• 可通过将 L 上的组合拉普拉斯算子在 fq 的像上进行舒尔补运算来计算持久拉普拉斯算子，从而提出一种新算法，时间复杂度为 O((nKq)³ + (nLq)³ + nLq+1)。
• 该算法可计算持久拉普拉斯算子矩阵，同时作为副产品，以相同时间复杂度计算持久贝蒂数，为现有方法提供了替代方案。
• 上行持久拉普拉斯算子因核扩展而包含不可避免的零特征值；去除这些特征值后即得本质上行持久拉普拉斯算子。
• 本质上行持久拉普拉斯算子满足单调性：在加权保重单纯映射的复合下，有 λK,M,essq,up,k ≥ λL,M,essq,up,k。
• 下行持久拉普拉斯算子的单调性在满射映射下成立；在加权保重假设下复合时，下行持久拉普拉斯算子的特征值也满足 λK,M,q,down,k ≥ λL,M,q,down,k。