[论文解读] A Generalization of the Tristram-Levine Knot Signatures as a Singular Furuta-Ohta Invariant for Tori

Mariano Echeverria|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 6

一句话总结

本文将Tristram-Levine扭结符号数推广为具有$S^1 \times S^3$同调型的4-流形中环面的奇异Furuta-Ohta不变量。通过定义环面补集的不可约$SU(2)$表示的带符号计数（固定经线的共轭类，参数化为$\alpha \in (0,1/2)$），该不变量在乘积情形下恢复了Casson-Lin-Herald不变量，从而将扭结符号数不变量推广至环面，并将其与瞬子Floer同调及Donaldson型不变量联系起来。

ABSTRACT

Given a knot $K$ inside an integer homology sphere $Y$, the Casson-Lin-Herald invariant can be interpreted as a signed count of conjugacy classes of irreducible representations of the knot complement into $SU(2)$ which map the meridian of the knot to a fixed conjugacy class. It has the interesting feature that it determines the Tristram-Levine signature of the knot associated to the conjugacy class chosen. Turning things around, given a 4-manifold $X$ with the integral homology of $S^{1} imes S^{3}$, and an embedded torus $T$ inside $X$ such that $H_{1}(T;\mathbb{Z})$ surjects onto $H_{1}(X;\mathbb{Z})$, we define a signed count of conjugacy classes of irreducible representations of the torus complement into $SU(2)$ which satisfy an analogous fixed conjugacy class condition to the one mentioned above for the knot case. Our count recovers the Casson-Lin-Herald invariant of the knot in the product case, thus it can be regarded as implicitly defining a Tristram-Levine signature for tori. This count can also be considered as a singular Furuta-Ohta invariant, and it is a special case of a larger family of Donaldson invariants which we also define. In particular, when $(X,T)$ is obtained from a self-concordance of a knot $(Y,K)$ satisfying an admissibility condition, these Donaldson invariants are related to the Lefschetz number of an Instanton Floer homology for knots which we construct. Moreover, from these Floer groups we obtain Frøyshov invariants for knots which allows us to assign a Frøyshov invariant to an embedded torus whenever it arises from such a self-concordance.

研究动机与目标

• 将具有$S^1 \times S^3$同调型的4-流形中嵌入环面的Tristram-Levine扭结符号数不变量进行推广。
• 定义环面补集的不可约$SU(2)$表示的带符号计数，该计数固定经线的共轭类，类似于扭结情形下的Casson-Lin-Herald不变量。
• 证明该计数在乘积情形$X = S^1 \times Y$下恢复Casson-Lin-Herald不变量，从而将扭结符号数不变量推广至环面。
• 将该不变量与一类新的Donaldson不变量联系起来，并通过纵向结构构造扭结的瞬子Floer同调。
• 为扭结定义Frøyshov不变量，并将其推广至由扭结自同伦得到的环面。

提出的方法

• 定义不可约$SU(2)$表示的带符号计数$\lambda_{FO}(X,T,\alpha) \in \mathbb{Z}$，其作用于$\pi_1(X \setminus T)$，且将环面的经线映射至由$\alpha \in (0,1/2)$参数化的固定共轭类。
• 利用$H_1(T;\mathbb{Z})$映满$H_1(X;\mathbb{Z})$的条件，确保该不变量定义良好且具有拓扑意义。
• 构造一类广义Furuta-Ohta不变量的Donaldson不变量族，其中该环面不变量为特例。
• 将该不变量与通过4-流形中纵向结构定义的新瞬子Floer同调的Lefschetz数联系起来。
• 利用轨道丛版本的瞬子Floer同调$HIL(Y_0, K_0, \alpha)$，将该不变量解释为欧拉示性数，尤其在$X = S^1 \times Y$的情形下。
• 通过Floer同调为扭结定义Frøyshov不变量，并将其推广至由扭结自同伦产生的环面。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tristram-Levine扭结符号数能否推广至具有$S^1 \times S^3$同调型的4-流形中的嵌入环面？
• RQ2 何种条件下，环面$T \subset X$与参数$\alpha \in (0,1/2)$可确保固定经线共轭类的$SU(2)$表示的带符号计数存在且定义良好？
• RQ3 在乘积情形$X = S^1 \times Y$下，所提出的不变量$\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$与Casson-Lin-Herald不变量$\lambda_{CLH}(Y,K,\alpha)$之间有何关系？
• RQ4 $\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$与轨道丛瞬子Floer同调$HIL(Y_0, K_0, \alpha)$的欧拉示性数之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过扭结的自同伦将扭结的Frøyshov不变量推广至嵌入环面？

主要发现

• 在乘积情形$X = S^1 \times Y$下，不变量$\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$恢复了Casson-Lin-Herald不变量$\lambda_{CLH}(Y,K,\alpha)$，从而将扭结符号数不变量推广至环面。
• 当$X = S^1 \times S^3$且$T = S^1 \times \text{unknot}$时，对所有$\alpha$均有$\lambda_{FO}(X,T,\alpha) = 0$，支持了此类不变量在$S^1$-丛上同调球面的环面情形下为零的猜想。
• 该不变量$\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$被猜想等于纵向瞬子Floer同调$HIL(Y_0, K_0, \alpha)$在诺维科夫环上的欧拉示性数，且当$\alpha \in \mathbb{Q} \cap (0,1/2)$时，有$\chi(HIL(Y_0, K_0, \alpha)) = 2\triangle_K''(1)$。
• 该构造产生了一类新的Donaldson型不变量，其广义化了Furuta-Ohta不变量，并与扭结Floer同调的Lefschetz数相关联。
• 通过新Floer同调为扭结定义了Frøyshov不变量，并可将其推广至由扭结自同伦产生的环面。
• 该不变量$\lambda_{FO}(X,T,\alpha)$被证明为奇异Furuta-Ohta不变量，且预期在$S^1$-丛上同调球面的环面（作为扭结的逆像）情形下为零，依据是$\triangle_K''(1)$在平凡扭结情形下为零。